Berechne das Kurvenintegral

Question

Aufgabe:

Nr.4 b)

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

b) ges: dats wert des Kurvenintegrals von \( F \) * entlang, der kurve \( r \)
\( \begin{array}{l} \int \limits_{r} F \cdot d r=\int \limits_{0}^{1} F(r(t)) \cdot r^{\prime}(t) d t \end{array} \)
\( \begin{array}{l} Y^{\prime}(t)=\left[\begin{array}{l} -e \\ -\pi e^{\cos (\pi t)} \sin (\pi t)+1 \end{array}\right] \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \text { 2. Schritt: } \end{array} \)
\( \begin{array}{l} =\left[\begin{array}{l} \left(e^{\cos (\pi t)}+t\right)^{2}-((1-t) e)^{2} \\ 2((1-t) e)\left(e^{\cos (\pi t)}+t\right) \end{array}\right] \quad \begin{array}{l} f(u)=e^{u} \\ f^{\prime}(u)=e^{u}(\text { äu } \\ =e^{s \operatorname{ss}(\pi t)}(\text { Abere } \end{array} \\ \text { 3. Schritts } \\ \text { skalarprodukt } \\ \text { - zwischen }\left\langle F(r(t)), r^{\prime}(t)\right\rangle \\ \left\langle F(r(t)), r^{\prime}(t)\right\rangle \\ \begin{array}{l} \text { nier avch cettenregel: } \\ g(x)=\cos (\pi t) \end{array} \\ =\left(\left(e^{\cos (t+t)}+t\right)^{2}-((1-t) e)^{2}\right) \cdot(-e) \\ \text { Aubere Abletung- } \sin (\pi t) \\ \text { innere Ablinung: } \pi \\ g^{\prime}(x)=\pi \cdot \sin (\pi t) \\ \text { linnere Abl.) } \\ +2(1-t) e\left(e^{\cos (\pi t)}+t\right) \cdot\left(-\pi e^{\cos (\pi t)} \sin (\pi t)+1\right) \\ \rightarrow \rightarrow f^{\prime}(x)=-\pi \sin (\pi t) \cdot e^{\cos (\pi t)} \\ \text { - }\left(-\pi e^{\cos (\pi t)} \sin (\pi t)+1 d t\right. \end{array} \)

Mein Ansatz ist auf Foto 2.

Muss ich hier jetzt am Ende das Integral berechnen von dem Skalarprodukt?

Oder liegt ein Fehler in meiner Vorgehensweise vor?

Text erkannt:

4. Aufgabe
(11 Punkte)

Gegeben sei das Vektorfeld \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
\( F(x, y)=\left[\begin{array}{c} y^{2}-x^{2} \\ 2 x y \end{array}\right] \)
sowie die Kurve \( \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
\( \gamma(t)=\left[\begin{array}{c} (1-t) \mathrm{e} \\ \mathrm{e}^{\cos (\pi t)}+t \end{array}\right], \quad t \in[0,1] \)
(a) Bestimmen Sie Anfangs- und Endpunkt von \( \gamma \). Ist \( \gamma \) eine geschlossene Kurve?
(b) Berechnen Sie den Wert des Kurvenintegrals von \( F \) entlang der Kurve \( \gamma \).
2

Comments

Bitte nicht alle Aufgaben des Arbeitsblattes getrennt eintragen.

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Das wäre zwar sinnvoll, jedenfalls existiert diese Frage noch nicht. Und ist damit auch keine Nachfrage zu einer bestehenden Frage.

Answer 1

Dein Vorgehen ist nicht falsch (es fehlen am Ende ein paar Klammern). Du merkst aber, es wird etwas aufwendig.

Wenn man eine Stammfunktion (Potential) zu F hat, kann man das Integral leicht ausrechnen, analog zum 1d-Fall (Stammfunktion an der oberen Grenze minus Stammfunktion an der unteren Grenze).

Gesucht ist also eine Funktion \(G\) mit \(\nabla G=F\), es muss also \(G_x(x,y)=y^2-x^2\) und \(G_y(x,y)=2xy\) sein. Integriere dazu die erste Gleichung nach \(x\) und die zweite nach \(y\) und schau, ob Du ein \(G\) findest, das beides erfüllt (zur Erinnerung: \(G:\R^2\longrightarrow \R\)).

Die Aufgabe ist vermutlich genau so gestellt, damit man merkt, dass das Ausrechnen des Integrals über die Definition nicht so angenehm ist. Manchmal steht das auch in der Aufgabenstellung - bitte nicht weglassen, sondern vollständig mitliefern, immer!