Aloha :)
Hier soll eine Funktion \(f\) unter einer konstanten Nebenbedinung \(g\) maximiert werden:$$f(x;y)=e^{x+2y}\mapsto\text{Maximum}\quad;\quad g(x;y)=2x^2+y^2=4=\text{const}$$
zu a) Wir können die Definitionsmenge der Funktion \(f\) auf die Lösungsmenge \(M\) der Nebenbedingung einschränken, denn nur diese Punkte kommen als mögliche Maxima infrage.
Die Nebenbedinung \(g\) stellt sicher, dass diese Menge \(M\) aus Lösungs-Tupeln \((x;y)\in\mathbb R^2\) besteht, deren Komponenten nicht beliebig groß oder klein werden können. Die Menge \(M\) ist daher beschränkt.
Zustäzlich beschreibt die Menge \(M\) bzw. die Nebenbedingung \(g\) die Randpunkte einer Ellipse, stellt also eine geschlossene (d.h. sie enthält alle Randpunkte) Menge dar.
Nach dem Satz von Weierstraß nimmt jede stetige Funktion auf einer nichtleeren, kompakten (also abgeschlossen und beschränkten) Definitionsmenge ihr Minimum und ihr Maximum an.
Da die Funktion \(f\) überall stetig ist und die Nebenbedinung \(g\) eine kompakte Menge beschreibt, nimmt die Funktion \(f\) ihr Maximum unter der Nebenbedingung \(g\) an.
zu b) Nach Lagrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, erhalten wir daraus eine einfache Forderung:$$\operatorname{grad}f(x;y)\stackrel!=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{e^{x+2y}}{2e^{x+2y}}\stackrel!=\lambda\cdot\binom{4x}{2y}$$
Nun hast du versucht, ein Gleichungssystem zu lösen. Du kannst aber den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) relativ leicht loswerden, indem du die Gleichung der ersten Koordinate durch die der zweiten Koordinate dividierst:$$\frac{e^{x+2y}}{2e^{x+2y}}=\frac{\lambda\cdot4x}{\lambda\cdot2y}\implies\frac12=\frac{2x}{y}\implies \pink{y=4x}$$
Die pinke Lagrange-Forderung setzen wir in die Nebenbedinung ein:$$\small 4=2x^2+\pink y^2=2x^2+(\pink{4x})^2=18x^2\implies x^2=\frac29\implies x=\pm\frac{\sqrt2}{3}\pink{\implies} y=\pm\frac{4\sqrt2}{3}$$
Wir erhalten also zwei Kandidaten für Extrema:$$K_1\left(\frac{\sqrt2}{3}\,\bigg|\,\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)\quad;\quad K_2\left(-\frac{\sqrt2}{3}\,\bigg|\,-\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$$
Wenn wir die in die Funktions \(f\) einsetzen erhalten wir;$$f(\vec k_1)=e^{3\sqrt2}\quad;\quad f(\vec k_2)=\frac{1}{e^{3\sqrt2}}$$
Das Maximum befindet sich also bei \(K_1\) und das Minimum bei \(K_2\).
Ergänzung nach Kommentar von nudger:
Beim Dividieren der Koordinatengleichungen erhalten wir \(\frac12=\frac{2x}{y}\). Diese Gleichung ist für \(y=0\) nicht definiert. Daher müsste man den Sonderfall \(y=0\) gesondert betrachten. Aus der Nebenbedingung folgt bei Einsetzen von \(y=0\) dann \(x=\pm\sqrt2\). Das führt auf die beiden Funktionswerte \(e^{\sqrt2}\) und \(\frac{1}{e^{\sqrt2}}\). Das gefundene Maximum ist größer und das gefundene Minimum ist kleiner als die beiden Werte. Der Sonderfall \(y=0\) liefert also keine weiteren Extrema.
