Exponentielles Wachstum in einem Bundesland berechnen

Question

Hallo alle zusammen, Ein Bundesland hatte im Jahre 1970 8,2 Millionen Einwohner. ImJahre 1996 wurden 9 Millionen Einwohner gezählt. a) bestimmen Sie die Wachstumsgleichung (exponentielles Wachstum unterstellt). b) wie viele Einwohner hat das Land im Jahr 2020, wenn die Zuwanderung außer Acht gelassen wird. c) Berechnen Sie die Verdopoelungszeit und die jährliche Zuwachsrate in Prozent. d) In welchem Jahr wird die 10- Millionen-Marke überschritten? -bitte mit Erklärung

Answer 1

Hallo Naba2,

1970 8,2 Millionen Einwohner.
ImJahre 1996 wurden 9 Millionen Einwohner gezählt.

a) bestimmen Sie die Wachstumsgleichung (exponentielles Wachstum unterstellt).

P ( x ) = a * e^{b*x}

P ( 1970 ) = a * e^{b*1970} = 8.200.000
P ( 1996 ) = a * e^{b*1996} = 9.000.000

a * e^{b*1970} = 8.200.000
a * e^{b*1996} = 9.000.000
beide Gleichungen geteilt
e^{b*1970} / e^{b*1996} = 8.200.000 / 9.000.000
e^{b*1970-b*1996} = 8.2 / 9
ln ( e^{-26*b} ) = ln ( 8.2 / 9 )
-26 * b = -0.0931
b = 0.00358
eingesetzt
P ( 1970 ) = a * e^{0.00358*1970} = 8.200.000
a * e^{7.0526} = 8.200.000
a = 8.200.000 / 1155.86
a = 7094.3
P ( x ) = 7094.3 * e^{0.00358*x}
Probe
P ( 1996 ) = a * e^{b*1996} = 9.000.000
7094.3 * e^{0.00358*1996} = 8.999.926

b) wie viele Einwohner hat das Land im Jahr 2020, wenn die
Zuwanderung außer Acht gelassen wird.
P ( 2020 ) =  7094.3 * e^{0.00358*2020}
P ( 2020 ) = 9.807.392

c) Berechnen Sie die Verdopoelungszeit ...
|  die eingesetzte Jahreszahl spielt keine Rolle
P ( x ) = P ( 1970 ) * 2
7094.3 * e^{0.00358*x} =  8.200.000 * 2
7094.3 * e^{0.00358*x} = 16.400.000
e^{0.00358*x} = 2311.72
0.00358 * x  = ln ( 2311.72 )
x = 2163.6
... und die jährliche Zuwachsrate in Prozent.
P ( x + 1) = P ( x ) * f
P ( 1970 ) = 8.200.000
P ( 1971 ) = 8.229.427
f = 8.229.427 / 8.200.000 = 1.00359
f = 0.359 %

d) In welchem Jahr wird die 10- Millionen-Marke überschritten
P ( x ) = 7094.3 * e^{0.00358*x} = 10.000.000
e^{0.00358*x} = 1409.582
0.00358 * x = 7.251
x = 2025.4

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mfg Georg

Comments

Hey vielen Dank, ich hab noch eine Frage wie kommst du auf die -0.0931 in aufgabe a) nach dem du die zwei teilst?

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Und ich verstehe nicht wie du auf die 1155.86 gekommen bist. Ach im a) Teil um "a" aus zurechnen. Und was ist mit dem "e" geworden ? Tut mir leid wenn ich störe.

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ln ( 8.2 / 9 ) ist zu lesen als
ln aus ( acht-komma-zwei geteilt durch 9 )
ln aus ( 0.9111111111 )
-0.093

a * e^7.0526 = 8.200.000 ( e^7.0526 = 1155.86 )
a = 8.200.000 / 1155.86

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mfg Georg
 

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Hallo tut mir leid wenn ich so spät wieder etwas dazu frage aber bei der c) die jährliche Zuwachsrate was ist f und wie kommst du nochmal auf die 8229427 ?

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c.) ... und die jährliche Zuwachsrate in Prozent.
P ( x + 1) = P ( x ) * f
P ( 1970 ) = 8.200.000
P ( 1971 ) = 8.229.427
f = 8.229.427 / 8.200.000 = 1.00359
f = 0.359 %

Als Formel für das exponentielle Wachstum wurde
gefunden :

P ( x ) = 7094.3 * e^0.00358*x
P ( 1971 ) = 7094.3 * e^0.00358*1971
P ( 1971 ) = 7094.3 * 1160
P ( 1971 ) = 8229427

Beispiel 3 % Zins auf 1000 € ist
Endkapital = Anfangskapital * Zinsfuß
1000 * ( 1 + 0.03 )
1000 * 1.03
1030
Endkapital = Anfangskapital * Zinsfuß

P ( 1971 )  = P ( 1970 ) * f
f = 8.229.427 / 8.200.000 = 1.00359
f = 0.359 %

Formel :
x = nach x Jahren von 1970 an
1974  -> 1974 - 1970 = 4
E ( x ) = 8.200.000 * 1.00359^x

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mfg Georg