Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge: (x^2 + 25x + 100)/(2x^2 + 20x + 50) = ...

Question

Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge.

\( \frac{x^{2}+25 x+100}{2 x^{2}+20 x+50}=\frac{2 x+3}{x+5}-\frac{x-6}{2 x+10} \)

Answer 1

 

keiner der Nenner darf 0 werden, da Division durch 0 nicht definiert ist:

2x² + 20x + 50 = 0

x² + 10x + 25 = 0

x_1,2 = -5 ± √(25 - 25) = -5 ± 0

Auch bei den anderen Zählern darf x nicht den Wert -5 annehmen, daher ist

D = ℝ\{-5}

 

(x² + 25x + 100)/(2x² + 20x + 50) = (2x + 3)/(x + 5) - (x - 6)/(2x + 10) | gemeinsamer Hauptnenner

(x² + 25x + 100)/(2x² + 20x + 50) = (2x + 3)*(2x + 10)/[(x + 5)*(2x + 10)] - (x - 6)*(x + 5)/[(2x + 10)*(x + 5)] | auf beiden Seiten mit (2x² + 20x + 50) multiplizieren

x² + 25x + 100 = (2x + 3)*(2x + 10) - (x - 6)*(x + 5)

x² + 25x + 100 = 4x² + 26x + 30 - x² + x + 30

x² - 4x² + x² + 25x - 26x - x + 100 - 30 - 30 = 0

-2x² -2x + 40 = 0 | : (-2)

x² + x - 20 = 0

x_1,2 = -0,5 ± √(1/4 + 80/4) = -0,5 ± 9/2

x₁ = 8/2 = 4

x₂ = -10/2 = -5

-5 gehört aber nicht zur Definitionsmenge, also

L = {4}

 

Besten Gruß