Tangentengleichung bestimmen an den Graphen f(x) = 1/(x^2+1)

Question

Sei f: R --> R definiert durch f (x) = 1/ (x² + 1)

 

a) Bestimmen sie lim h--> 0      f ( 1+ h ) - f ( 1 ) / h

b ) Bestimmen sie mit Hilfe von Aufgabenteil a) eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt ( 0, 1).

Comments

Du hast f(x) = 1/(x^2+1) gemeint?


Habe es entsprechend modifiziert. Aber bitte unbedingt Klammern berücksichtigen!

Answer 1

$$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(1+h)-f(1) }{ h }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 1 }{ (1+h)^{ 2 }+1 } -\frac { 1 }{ 1^{ 2 }+1 }  }{ h }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 1 }{ 2+2h+h^{ 2 } } -\frac { 1 }{ 2 }  }{ h }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \frac { 2 }{ 2(2+2h+h^{ 2 }) } -\frac { (2+2h+h^{ 2 }) }{ 2(2+2h+h^{ 2 }) }  }{ h }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 2-(2+2h+h^{ 2 }) }{ 2(2+2h+h^{ 2 })h }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { -2h-h^{ 2 } }{ 4h+4h^{ 2 }+2h^{ 3 } }  }$$$$=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { -2-h }{ 4+4h+2h^{ 2 } }  }$$$$=-\frac { 2 }{ 4 }$$$$=-\frac { 1 }{ 2 }$$

Zum Teil b) fällt mir leider gar nicht ein, wie man unter Verwendung von Teil a ) den Grenzwert bei x = 0 bestimmen soll. Vielleicht hat noch jemand anderes eine Idee ... ?