Differential nach l hospital lösen

Question

 

ich muss folgendes Bsp lösen lim(x->0) = ((1)/(√x))^x²

 

ich muss nach l`hospital lösen,

 

die letzte Potenz heißt x² und nicht x2 das geht sich von der zeile nicht aus.

 

Bitte um hilfe , würde gern wissen wie das funktioniert

Answer 1

$$\text{Meinst du }y(x)=\left(\frac1{\sqrt x}\right)^{x^2}\text{? Dann forme zunächst um}$$$$\log y(x)=-\frac12x^2\log x=-\frac12\frac{\log x}{\frac1{x^2}}.$$Nun nach l'Hospital den Grenzwert berechnen. Anschließend auf beiden Seiten die Exponentialfunktion anwenden.

Comments

Bitte um eine konkrete Lösung des Bsp, ich blick da einfach nicht durch...Vl kann ich das dann nachvollziehen...


lg

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$$y(x)=\left(\frac1{\sqrt x}\right)^{x^2}=\left(x^{-\frac12}\right)^{x^2}=x^{-\frac12x^2}.$$$$\log y(x)=-\frac12x^2\log x=-\frac12\frac{\log x}{\frac1{x^2}}.$$$$\lim_{x\to0}\log y(x)=\lim_{x\to0}-\frac12\frac{\log x}{\frac1{x^2}}=\lim_{x\to0}-\frac12\frac{\frac1x}{-\frac2{x^3}}=\lim_{x\to0}\frac14x^2=0.$$$$e^{\lim\limits_{x\to0}\log y(x)}=e^0$$$$e^{\log{\lim\limits_{x\to0}y(x)}}=1$$$$\lim_{x\to0}y(x)=1.$$

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es geht auch über Substitution, siehe mein Kommentar zur ursprünglichen Frage