Exponentielle Wachstum und Abnahmeprozesse (Wirkungssubstanz)

Question

Die Wirkungssubstanz eines bestimmten Medikaments wird vom menschlichen Organismus mit einer Halbwertszeit von 5,5 Stunden abgebaut. Eine Person nimmt um 8 und um 10 Uhr eine Tablette, die jeweils 120 mg dieser Wirksubstanz enthält.

a, Wie viel mg Wirksubstanz befinden sich um 13 Uhr im Körper dieser Person?

b, Wann muss die Person spätestens die nächste Tablette einnehmen, damit die Menge der Wirksubstanz im Körper nicht unter 100mg fällt  ?

Answer 1

Hi,

Der Wachstumsprozess wird beschrieben durch $$ N_t=N_0e^{\lambda(t-t_0)} $$ mit $$ \lambda=-\frac{ln(2)}{T} $$ wobei $$ T=5.5 \quad t_0=8  \quad N_0=120 $$ ist.
Um 10 Uhr ist die Konzentration $$ N_{10}=93.264 $$ nun werden 120 mg zugeführt und deshalb ist die Konzentration nun $$ 93.264+120=213.264 $$ hoch. Nun muss die neue Konzentration für 13 Uhr ausgerechnet werden mit $$ N_0=213.264 \quad t_0=10 $$ es ergibt sich $$ N_{13}=146.124 $$
Um genau 100 mg Wirkstoff zu haben nach der ersten Wirkstoffaufnahme muss gelten $$ 100=213.264*e^{\lambda(t-10)}  $$ daraus folgt $$ ln\left(\frac{100}{213.164}\right)=\lambda(t-10) $$ also $$ t=\frac{ln\left(\frac{100}{213.146}\right)}{\lambda}+10=16.01   $$