Ähnlichkeit und Strahlensatz. Geometrieaufgabe zu ähnlichen Dreiecken

Question

Geometrieaufgaben in Englisch

9. Consider the adjacent figure.

Given ΔABM ~ ΔDEN,  ∠ 1 ≅ ∠ 2, and ∠ 3 ≅ ∠ 4.

Show that ΔABC ~ ΔDEF.

9. Für die Dreiecke auf dem Foto gilt:   ΔABM ~ ΔDEN (ähnliche Dreiecke),

Folgende Winkel entsprechen sich:  ∠ 1 ≅ ∠ 2, und ∠ 3 ≅ ∠ 4.

Beweise, dass ΔABC ~ ΔDEF.

11. Given two triangles ABC and DEF such that ΔABC ~ ΔDEF. Point M is between B and C such that

AM⊥ BC and pint N is between E and F such that DN⊥EF. Show that BM über EN = MC über NF

11. Gegeben zwei Dreiecke ABC und DEF so dass ΔABC ~ ΔDEF (ähnliche Dreiecke).

Punkt M liegt zwischen B und C so dass AM⊥ BC (senkrecht) und Punkt N liegt zwischen E und F so dass DN⊥EF (senkrecht).

Beweise, dass  BM / EN = MC / NF

Answer 1

 

9. Für die Dreiecke auf dem Foto gilt:   ΔABM ~ ΔDEN (ähnliche Dreiecke),

   D.h. sie stimmen in der 3 Winkeln überein. Insbesondere gilt ∠ 1 = ∠ 3. ∠ Beta = ∠ Epsilon.

   Folgende Winkel entsprechen sich:  ∠ 1 ≅ ∠ 2, und ∠ 3 ≅ ∠ 4. 

Wegen ∠ 1 = ∠ 3 gilt ∠ 2 = ∠ 4

    Beweise, dass ΔABC ~ ΔDEF.

   Zu zeigen ist: Diese beiden Dreiecke haben die gleichen Winkel.

∠ Beta = ∠ Epsilon

∠ Alpha = ∠ 1 + ∠ 2  = ∠ 3 + ∠ 4  = ∠ Delta

Da die Winkelsumme im Dreieck 180° ist, gilt

 ∠  Gamma = 180° -∠ Alpha - ∠ Beta = 180° - ∠ Delta -  ∠ Epsilon = ∠ Phi

was zu beweisen war 

 

 

11. Gegeben zwei Dreiecke ABC und DEF so dass ΔABC ~ ΔDEF (ähnliche Dreiecke). Punkt M liegt zwischen B und C so dass 

AM⊥ BC (senkrecht) und Punkt N liegt zwischen E und F so dass DN⊥EF (senkrecht). Beweise, dass

BM / EN = MC / NF

Beweis: Beta = Epsilon und beide Dreiecke einen rechten Winkel enthalten, sind alle 3 Winkel gleich. Also auch 1 und 3:

 ΔABM ~ ΔDEN  

ergänzend dazu sind Phi = Gamma, 90°=90° daher: 2 und 4 gleich. Deshalb  ΔAMC ~ ΔDNF.

Die Verhältnisse entsprechender Strecken in 2 ähnlichen Dreiecken sind gleich.

Deshalb:

 ΔABM ~ ΔDEN ------> | BM| / |EN| = |AM| / |DN|

 ΔAMC ~ ΔDNF → |MC| / |NF| = |AM| / |DN|

Nun die beiden Gleichungen verknüpfen

|BM| / |EN| = |AM| / |DN| = |MC| / |NF|

Also: |BM| / |EN| = |MC| / |NF|

was zu beweisen war.

 

 

Ich hoffe jetzt mal, dass du das so weit verstehst und es zurückübersetzen kannst ins Englische.