Vorweg: Ich lese die Aufgabenstellung etwas anders als georgborn.
Meine Lesart:
Gegeben ist eine Parabel 3. Ordnung, die im Punkt ( 3 | - 2 ) einen Tiefpunkt hat.
Die dortige Tangente t schneidet P im Punkt ( - 1 | p ( - 1 ) )
In diesem Punkt beträgt die Parabelsteigung m = 16
Sei nun
p ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d
die Parabelgleichung und
t ( x ) = m x + n
die Tangentengleichung.
Gegebene Informationen:
1) Zur Parabel p ( x ) gehört der Punkt ( 3 | -2 ), also: p ( 3 ) = - 2
2) Dieser Punkt ist Tiefpunkt der Parabel p , also: p ' ( 3 ) = 0
3) Dieser Punkt gehört auch zur Tangenten t , also: t ( 3 ) = - 2
4) Die Tangente t liegt im Tiefpunkt T von p an, also hat sie die Steigung 0 , also:
t ' ( x ) = m = 0
5) An der Stelle x = - 1 hat die Parabel die Steigung m = 16, also: p ' ( -1 ) = 16
6) Der Punkt ( - 1 | p ( - 1 ) ) der Parabel p gehört auch zur Tangenten t , da er Schnittpunkt ist, also: p ( - 1 ) = t ( - 1 )
Aus 4) folgt sofort: m = 0
Damit ergibt sich aus 3): t ( 3 ) = 0 x + n = - 2 <=> n = - 2
Da t die Steigung 0 hat, gilt: t ( - 1 ) = 0 * ( - 1 ) - 2 = - 2. Somit ergibt sich aus 6) :
p ( - 1 ) = - 2
Nun hat man also noch folgende Informationen:
1) p ( 3 ) = - 2
2) p ' ( 3 ) = 0
5 ) p ' ( -1 ) = 16
6) p ( - 1 ) = - 2
Nun das entsprechende lineare Gleichungssystem aufstellen und lösen. Es ergibt sich:
a = 1
b = - 5
c = 3
d = 7
und daraus die gesuchte Gleichung der Parabel 3. Ordnung:
p ( x ) = x 3 - 5 x 2 + 3 x + 7
Hier ein Schaubild der Parabel p und der Tangenten t:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D-2%2C+x^3-5x^2%2B3x%2B7+from+-2+to+4
