Ist die Matrix A=(1,2,1 ; 2,0,1 ; 3,1,1) invertierbar über ℚ , ℤ2 bzw. ℤ3? Wenn ja: Inverse?

Question

habe folgende Aufgabe

Man bestimme, ob die Matrix

A=(1,2,1 ; 2,0,1 ; 3,1,1)      (die zahlen jeweils untereinander, also z.B die 2 (4.zahl) steht unter der 1 (1.zahl))

über ℚ , ℤ₂ bzw. ℤ₃ invertierbar ist, und gebe gegebenfalls die Inverse an.

Ich sitze an der Aufgabe schon länger und mir kommt einfach keine Idee, wie  man das hier zeigen soll. Danke für eure Hilfe

Answer 1

Weißt du, wie du mit dem Gauss-Verfahren die Inverse einer Matrix bilden kannst?

In Q komme ich auf die Inverse von

[1, 2, 1; 2, 0, 1; 3, 1, 1]^{-1} = [- 1/3, - 1/3, 2/3; 1/3, - 2/3, 1/3; 2/3, 5/3, - 4/3]

Schau mal ob du den Gauss anwenden kannst.

Auf folgender Seite ist das Verfahren und ein Tool welches die Inverse berechnet.

was die Inverse in Z2 oder Z3 betrifft schau mal bei ähnlichen Fragen. Dort habe ich das auch bereits vorgemacht.

https://www.mathelounge.de/12565/ist-die-matrix-invertierbar-in-z-3z-also-modulo-3

Comments

danke für deine Antwort. Ja mit dem Gauß-verfahren kamm ich auch auf deine Inverse. Hab mir die anderen Beiträge auch angeschaut, jedoch verstehe ich das Verfahren mit dem Modulo 2 bzw. 3 immer noch nicht. aber trotzdem danke

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Die Lösung [- 1/3, - 1/3, 2/3; 1/3, - 2/3, 1/3; 2/3, 5/3, - 4/3]

Wenn ich in der Resteklasse 2 rechne multipliziere ich mit 3

[- 1, - 1, 2; 1, - 2, 1; 2, 5, - 4]

Und addiere/subtrahiere 2 solange bis ich bis die Werte in der Resteklasse sind

[1, 1, 0; 1, 0, 1; 0, 1, 0]

Ich mache mal die Probe

[1, 2, 1; 2, 0, 1; 3, 1, 1] * [1, 1, 0; 1, 0, 1; 0, 1, 0] = [3, 2, 2; 2, 3, 0; 4, 4, 1]

Das sieht doch gut aus wenn man vielfache von 2 zum Ergebnis addiert oder subtrahiert. Ich lasse das aber so mal stehen.

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ok vielen lieben Dank. Habe das Verfahren jetzt auch auf ℤ₃ angewandt. Ist denn damit auch schon gezeigt, dass die Matrix in dem jeweiligen "Bereich" , also in ℚ,ℤ₂und ℤ₃ inventierbar ist? Oder muss ich da noch was machen?

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Wenn du eine Inverse findest, dann ist auch gezeigt das die Matrix invertierbar ist.