Bei Beträgen muss man in aller Regel eine Fallunterscheidung machen. Man muss nämlich unterscheiden, ob der Term in den Betragsstrichen kleiner als Null oder größergleich Null ist.
Der Betrag ist so definiert:
| x |= x, falls x ≥ 0
| x |= - x , falls x < 0
Also
Fall 1: x + 2 ≥ 0 <=> x ≥ - 2
Dann:
| x + 2 | < 3
<=> x + 2 < 3
<=> x < 1
Also:
L1 = { x ∈ R | x ≥ - 2 und x < 1 } = { x ∈ R | - 2 ≤ x < 1 }
Fall 2: x + 2 < 0 <=> x < - 2
Dann:
| x + 2 | < 3
<=> - x - 2 < 3
<=> - 5 < x
Also:
L2 = { x ∈ R | x <- 2 und x > - 5 } = { x ∈ R | - 5 < x < - 2 }
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist dann die Vereinigungsmenge der Lösungsmengen aller Fälle, also:
L = L1 ∪ L2
= { x ∈ R | - 2 ≤ x < 1 } ∪ { x ∈ R | - 5 < x < - 2 }
= { x ∈ R | - 2 ≤ x < 1 oder - 5 < x < - 2 }
= { x ∈ R | - 5< x < 1 }
