Ist die Menge Aut(V) der bijektiven linearen Abbildungen ϕ : V → V von VR-V mit Komposition von Abbildungen eine Gruppe?

Question

Frage steht oben.

VR-V = Vektorraum V

Danke für die Mühe

Comments

Ist ja wohl trivial.

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Danke Mister,
und was wäre die Begründung?

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Bijektive Abbildungen sind invertierbar. Zu jeder Abbildung \( f \) existiert also \( f^{-1} \) mit \( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = e \), wobei \( e \) die Identität ist.

Die Menge bijektiver Abbildungen ist zweifelsohne abgeschlossen: Ist \( g \) bijektiv und \( h \) bijektiv, so ist auch \( g \circ h \) bijektiv mit der Umkehrabbildung \( h^{-1} \circ g^{-1} \).

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Dankeschön Mister,
dafür würde ich dir sehr gerne einen Stern geben.

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Kein Problem, dann poste ich es nochmal als Antwort.

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dann bitte nach dem Motto "Wenn schon, denn schon" auch noch mit Nachweis, dass f°g und f ^-1 linear sind.

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Die Linearität ist unerheblich für die Gruppeneigenschaft.

Answer 1

Hallo nochmal,

bijektive Abbildungen sind invertierbar. Zu jeder Abbildung \( f \) existiert also \( f^{-1} \) mit \( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = e \), wobei \( e \) die Identität ist.

Die Menge bijektiver Abbildungen ist zweifelsohne abgeschlossen: Ist \( g \) bijektiv und \( h \) bijektiv, so ist auch \( g \circ h \) bijektiv mit der Umkehrabbildung \( h^{-1} \circ g^{-1} \).

MfG

Mister