Lösungen der quadratischen Gleichung fuer die Lösung der kubischen Gleichung verwenden

Question

Gegeben sei eine quadratische Gleichung, f(x) = x^2 +p x +q = 0, z.B.  f(x) = x^2 -2x -1 = 0

a) Berechnen Sie die Lösungen x11, x12 von f(x)

b) Ziehen Sie aus den Lösungen jeweils die 3. Wurzel und weisen sie diese  z1 und z2 zu:

z1= (x11)^{1/3}   ,    z2 = (x12)^{1/3}

c) eine der 3 Lösungen einer kubischen Gleichung  g(x) = x^3 +a x +b = 0 mit a, b ∈R soll  x21 = z1 +z2 sein

d) Wie lauten die Parameter a und b (Hilfe: x21^3 = (z1 +z2)^3 = z1^3 +z2^3 +3*z1*z2*(z1 +z2),

    z1^3 +z2^3      und  z1*z2 lassen sich mit Hilfe des Satzes von Vieta bestimmen) ?

e) Welcher Zusammenhang besteht also zwischen den Parametern (p, q) der quadratischen Gleichung einerseits und den Parametern (a, b) der kubischen Gleichung andererseits ?

f) Stellen Sie eine Formel für die Lösung der kubischen Gleichung g(x) auf durch Einsetzen der gefundenen Lösung

für die Parameter p und q (in Abhängigkeit von a und b) in x11 und x12 und dann durch Einsetzen in z1 und z2

g) Können Sie h(x) = x^3 -3x -3 = 0 lösen ? Machen Sie die Probe.

h) Können Sie k(x) = x^3 -3x^2 -3x -3 = 0  lösen ? Machen Sie die Probe.

Comments

Was genau ist hier deine Frage?

Das scheint ein Rezept zur Lösung von speziellen kubischen Gleichungen zu sein. Wenn du die Anleitung befolgst, kommst du bestimmt schon selbst ein ganzes Stück vorwärts.

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Um ehrlich zu sein hab ich das eben probiert und fand es schon ziemlich schwer. Also a) schaffe ich noch gerade so

a) 

x^2 +p x +q = 0
x = - p/2 ± √(p^2 - 4q)/2

x^2 - 2x - 1 = 0
x = 1 ± √2

b) Wir ziehen jeweils die 3. Wurzel

z1 = 2^{2/3}·(√(p^2 - 4·q) - p)^{1/3}/2

z2 = 2^{2/3}·(- √(p^2 - 4·q) - p)^{1/3}/2

c) Eine Lösung des qubischen Systems soll also sein

x = z1 + z2 = 2^{2/3}·(√(p^2 - 4·q) - p)^{1/3}/2 + 2^{2/3}·(- √(p^2 - 4·q) - p)^{1/3}/2

d) Ab hier hab ich jetzt allerdings extreme Probleme.

Vielleicht hätte man das vorher schon auf Basis von Polarkoordinaten lösen müssen. Aber so ganz komme ich jetzt nicht weiter...

Answer 1

mein Ansatz wäre folgender.

Vielleicht kommt man damit weiter.