Beweise bei einem Dreieck: Umfang=Fläche*2/Inkreisradius

Question

Man beweise, dass der Umfang eines Dreiecks dadurch erhalten werden kann, dass man den doppelten Dreieckflächeninhalt durch die Länge des zugehörigenInkreisradius r teilt.

 

Dies darf man nicht mit Geometrie lösen

Answer 1

Das sieht man eigentlich sehr deutlich, wenn du mal ein Dreieck zeichnest. Dort hinein die Winkelhalbierenden und den Innenkreis. Die Winkelhalbierenden teilen das Dreieck in drei gleich große Dreiecke. Jetzt ermittelt man den Flächeninhalt des Dreiecks über die drei einbeschriebenen Dreiecke. Zufällig ist der Innkreisradius ja die Höhe der Dreiecke, weil die Seiten Tangenten des Kreises sind und der Radius am Berührpunkt eben genau Senkrecht auf der Tangente steht.

Hier mal eine Skizze: