Differenzierbarkeit und Stetigkeit von f(x,y):= x/(x+y) , falls (x,y)≠ (0,0) und f(x,y):=0, falls (x,y)=(0,0)

Question

f(x,y)= x/(x+y) , falls (x,y)≠ (0,0)

0,            falls (x,y)=(0,0)

1) Untersuche, ob die obige Funktion im Punkt P(0,0) stetig ist.

2) Untersuche, ob die Funktion im Punkt P(0,0) differenzierbar ist.

3) Berechne die partiellen Ableitungen.

Habe leider noch keine Idee, wie ich die Aufgabe angehen könnte und wäre somit für jede Hilfe dankbar.

Comments

Zu 3) Welche Ableitungen sind da verlangt? Die partiellen oder...?

Weniger wichtig: Steht da vielleicht P(0,0)? p=(0,0) sieht eher nach Vektor aus.

EDIT: So korrigiert.

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Es sind die partiellen Ableitungen verlangt.

Dort steht P(0,0), also kein Vektor.

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Die partiellen Ableitungen nach Quotientenregel:

f(x,y)= x/(x+y)

f_x(x,y) = (1*(x+y) - x*1)) / (x+y)^2  = y/(x+y)^2

f_y(x,y) = (0*(x+y) - x*1)/(x+y)^2 = -x/(x+y)^2 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F%28x%2By%29+

Die Funktion ist in P(0,0) weder stetig noch differenzierbar. Vgl. plot im Link und Contour plot.

Begründen sollte man das aber wohl noch rechnerisch.

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Wie würde eine rechnerische Begründung denn Aussehen? Habe dazu leider noch keine Idee.

Answer 1

Hi,

zur Stetigkeit:

Wenn man vermutet, dass keine Stetigkeit vorliegt, muss man nur eine Nullfolge finden, die für f(x,y) nicht 0 ergibt.

Bspw. x = 1/n = y, für n gegen ∞ geht dies nun gegen 0 und das muss auch für f(1/n,1/n) gelten.

f(1/n,1/n) = 1/n / (1/n + 1/n) = 1/n / (2/n) = 1/2 ≠ 0

Auch für n -> ∞ haben wir f(1/n,1/n) = 1/2.

Damit ist f(x,y) weder stetig noch differenzierbar.

3) part. Ableitungen -> siehe Lu bzw. Georg.

Grüße

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danke für deine Antwort! Ist für mich sehr gut nachvollziehbar.

Answer 2

... und wäre somit für jede Hilfe dankbar.

Ich beschäftige mich zum ersten Mal mit solch einer Frage. Hier meine
Überlegungen.

In einem Koordinatensystem mit 3 Achsen habe ich als Grundfläche
x und y  und in der Höhe den Funktionswert.
  In der Ebene ist der Punkt ( 0 | 0 ) vorhanden. Zufällig der Ursprung des Koordinanten-
systems.
Um diesen Punkt zu erreichen kann ich die
- x-achse entlang gehen und kreuze den Punkt ( 0 | 0)
oder die
- y-achse entlang gehen und kreuze den Punkt ( 0 | 0)

Fall 1
y = 0
lim x - > 0  [  x / ( x + y )  ] = x / ( x + 0 ) = x / x = 0 / 0
Fall für l Hospital
lim x -> 0 = l´Hosp = x ´/ x = 1 / 1 = 1
Damit wäre keine Stetigkeit gegeben.
Der Funktionswert wäre 1; Laut Definition soll
der Funktionswert für ( 0 | 0 ) 0 betragen
Weitere Überlegung.
Falls y = 0 ist der Funktionswert von f ( x, 0 ) = x / ( x + 0 ) stets 1.
b.)
Falls keine Stetigkeit gegeben ist, ist auch keine
Differenzierbarkeit vorhanden.

3) Berechne die Ableitungen.
f ( x,y ) = x / ( x + y )
f ´ ( x ) = 1 / 1 = 1
f ´ (  y ) = 0 / ( 1 ) = 0

Alles ein bißchen komisch.
Vielleicht hilft es dir weiter.
mfg Georg

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danke für deine Mühe! Ich werde mal sehen, was ich damit anfangen kann. Sind auf jeden Fall gute Überlegungen.

Eine Frage habe ich aber noch an dich: du hast geschrieben, dass, wenn keine Stetigkeit vorhanden ist auch keine Differenzierbarkeit vorliegt. Ist das immer so, dass wenn eine Funktion nicht stetig ist, sie auch nicht differenzierbar sein kann?

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Im allgemeinen ist Stetigkeit ( der Graph macht keinen Sprung , oder hat keine Lücke )
die Voraussetzung für Differenzierbarkeit. Schaue aber bitte im Internet unter diesen
Begriffen nach.

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L'Hospital hat die Quotientenregel nicht erfunden

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Hat auch keiner behauptet und kommt in meinem Rechengang
auch nicht vor ( Anwendung der Quotientenregel ).

Regel von l´Hospital : ... Grenzwerte von Funktionen, die sich als
Quotient zweier gegen Null konvergierender...
Diese wurde angewendet.

" L'Hospital hat die Quotientenregel nicht erfunden  "
Die Regel trägt aber seinen Namen.

Nichtsdestotrotz lieferst du hier gute Beiträge.

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Unglücklichsterweise sind meine Ableitungen für
3) Berechne die Ableitungen.
f ( x,y ) = x / ( x + y )
komplett falsch

Es muß heißen
f ´ ( x ) = y / ( x + y)^2
f ´( y ) = -  x / ( x + y)^2

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Morgen zusammen.

f ´ ( x ) = y / ( x + y)²
f ´( y ) = -  x / ( x + y)²

Die Schreibweise habe ich so noch nie gesehen und erachte sie sogar als falsch. Du willst wohl ausdrücken, dass y bzw. x als konstant zu  betrachten sind, wenn Du ableitest. Dennoch hast Du f(x,y)!

Schreibe es so:

f_x = ∂f(x,y)/∂x =

Ich bevorzuge wegen der Kürze die erste Schreibweise :D. Ein Apostroph brauchts nicht. Der Index deutet die Ableitung bereits an.

Grüßle