ƒ(x)= 2^{1/x} 'am Rand des Definitionsbereiches'

Question

Wie verhält sich die Funktion \( f(x)=2^{\frac{1}{x}} \), am Rand des Definitionsbereiches, also für unendich groß bzw. unendlich klein werdende Argumente?

Answer 1

Hallo josun.king,

f(x) = 2^1/x

Nehmen wir einen sehr großen Wert für x, also zum Beispiel x = 1.000.000
Dann ergibt sich für
f(1.000.000) = 2^1/1.000.000 ≈ 1,0000006931 ≈ 2⁰ = 1

Für einen sehr kleinen Wert von x, also zum Beispiel x = - 1.000.000 erhalten wir
f(-1.000.000) = 2^-1/1.000.000 ≈ 0,9999993069 ≈ 2⁰ = 1

Für sehr große bzw. sehr kleine x nähert sich die Funktion f(x) also dem Werte 1 an:

Besten Gruß

Answer 2

Hi,

für

x→∞ wird der Nenner des Exponenten sehr groß. Der Exponent selber damit sehr klein --> das Ganze geht gegen 2^0 = 1

für

x→-∞ passiert genau das gleiche. Dass ein anderes Vorzeichen davorsteht, spielt keine Rolle. Wir haben weiterhin ein Streben gegen 2^0 = 1

Wenn x aber sehr klein wird (von rechts kommend), also x→0⁺, dann wird der Nenner sehr klein und der Exponent damit riesig. Wir laufen gegen ∞.

Wenn x aber sehr klein wird (von links kommend), also x→0^-, dann wird der Nenner sehr klein und der Exponent damit riesig. Wir laufen gegen -∞, wegen dem negativen Vorzeichen, dass wir erhalten, wenn wir von links kommen.

Alles klar?

Grüße