Bilder und Urbilder bestimmen ..

Question

Gegeben seien die Funktionen f:x ↦ x²  - 5x + 6 und g: x ↦ log₁₀x mit jeweils maximalen Definitionsbereichen.

Gesucht sind nun die Bilder h(A) und die Urbilder h ^-1 (B) für die Mengen und Funktionen in der Tabelle:

\( \begin{array}{ccc}\hline h & {A} & {B} \\ \hline f & {(0,10)} & {\{0,1\}} \\ {g} & {[1,100]} & {\{3,4\}} \\ {(g \circ f)} & {(4,10]} & {\{2\}} \\ \hline\end{array} \)

Answer 1

Der Graph von f ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt (2,5/-0,25).
Also ist f(   (0;10)   ) =   [-0,25  ;   56)
Der y-Wert des Scheitelpunktes gehört mit zum Bild von f, der y-Wert
des höchsten Punktes (10:56) allerdings nicht.

Für die Urildmenge von {0;1} musst du nur die Gleichungen f(x)=0  und f(x)=1 lösen.
Das gibt x=3 oder x=2 oder x=0,5*(5 +/-  wurzel aus 5). Diese 4 Zahlen bilden die Urbildmenge.

g ist nur für positive Zahlen definiert. Und für x gegen 0 geht y gegen minus unendlich. Mit wachsendem
x steigt der y-Wert immer weiter an es ist g(1)=0  und g(10) = 1 und g(100)=2.
Also ist die Bildmenge von [1;100] genau das Intervall [0;2]. 

Für den Logarithmus zur Basis 10 schreibe ich kurz lg.
Für die Urbilder von 3 bzw. 4 muss man   lg(x)=3 lösen, das gibt x=1000 und für die 4
gibt es x=10000.

(g°f)(x)=   lg(x^2-5x+6) mit dem Definitionsbereich  (-unendlich; 2) vereinigt mit (3;+unendlich).
Bilden wir erst mal die Bildmenge f(    (4:10]   ). In diesem Bereich
ist f streng monoton wachsend, also ist die Bildmenge das Intervall (  f(4); f(10) ] = ( 2;56].
Auf das Ergebnis muss nun die lg-Fkt angewandt werden. Dann hat man das
Intervall  (lg(2)  ;  lg(56) ].
Für das Urbild von 2 muss man erst mal lg(x)=2 ausrechnen, das gibt x=100.
Dann f(x)=100, Das gibt x=0,5*(5 +/- wurzel(401) ). Diese beiden Zahlen bilden die
gesuchte Urbildmenge.