Beweis 1 aus http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Algebra:_K%C3%B6rper:_Endlicher_Integrit%C3%A4tsbereich ist gut zu verstehen:
Aus "\( R \) ist endlich und ohne Nullteiler" muss folgen "\( R \) ist ein Körper".
Für \( a \neq 0 \) in \( R \) muss die Existenz eines multiplikativ Inversen gezeigt werden.
Die Multiplikation mit dem Element \( a \) ist in \( R \) injektiv: Aus \( ax = ay\), sprich \( a(x - y) = 0 \), folgt wegen der Nullteilerfreiheit, dass \( x - y = 0 \) bzw. \( x = y \) ist.
Da die Multiplikation mit \( a \) ein Endomorphismus auf \( R \) ist, folgt aus der Injektivität die Surjektivität (*). Insbesondere wird durch Multiplikation mit \( a \) auf die \( 1 \) abgebildet. Es gibt also ein \( b \in R \) mit
\( ab = 1 \).
Damit ist \( a \) invertierbar und \( R \) ist ein Körper.
Mister
(*) Ein Endomorphismus \( R \rightarrow R \) ist entsprechend dieser Notation ein Homomorphismus von \( R \) in sich selbst. Bild- und Zielbereich sind gleich. Trivialerweise folgt daraus deren Gleichmächtigkeit.
