Umkehrung der Kurvendiskussion. Differentialrechnung. Polynome

Question

Meine Frage:
ich brauch eure Hilfe.
Mein Mathebuch ist das vom E.Dorner Verlag - nämlich das Dimension Mathematik 7. Ich weiß nicht wie ich die Umkehraufgabe auf der Seite 132 Aufgabe 361c) und 361 f) lösen soll. Wäre dankbar wenn mir jemand hilft.
Ich hab überhaupt keine Ahnung wie das geht, hab es probiert zu rechnen aber ich versteh es nicht unglücklich

Aufgabe 361c):

Bestimme den Grad der Polynomenfunktion aus den gegebenen Eigenschaften. Ermittle den Funktionsterm.
c)Der Graph der Polynomfunktion hat genau einen Wendepunkt an der Stelle x=-1, schneidet die x-Achse an den Stellen x=-2 und x=1 und geht durch den Punkt (0/-2).
Ich hab keinen Plan wie ich das herausfinden soll.

Aufgabe 361f)
Bestimme den Grad der Polynomenfunktion aus den gegebenen Eigenschaften. Ermittle den Funktionsterm.
f)Der Graph einer Polynomenfunktion ist symmetrisch zur y-Achse, besitzt den Hochpunkt H(0/1), den Tiefpunkt T(1/0) und zwei Wendepunkte.

Meine Ideen:
für 361c)
Wendepunkt = Zweite Ableitung also f ' ' (-1)=0
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f"(x)=6ax+2b

Ich bin Planlos. Danke für eure Hilfe

Comments

So was nennt man auch Steckbriefaufgaben. vgl. ähnliche Fragen

https://www.mathelounge.de/14363/umkehraufgaben-kurvendiskussion-steigung-wendetangente

Umkehrfunktionen sind etwas Anderes. ZB. f(x) = x^2 hat für x ≥ 0 die Umkehrfunkton f^{-1} (x) = √x.

Answer 1

Hi,

zur c)

Du hast schon den richtigen Ansatz gebracht mit den Ableitungen, sowie der ersten Bedingung.

f''(-1)=0          (Wendepunkt)
f(-2)=0           (Nullstelle)
f(1)=0             (Nullstelle)
f(0)=-2            (Punkt P)

 

Damit kannst Du nun in Deinen Ansatz und erhältst folgende Gleichungen:

-6a+2b=0
-8a+4b-2c+d=0
a+b+c+d=0
d=-2

Mit Additionsverfahren oder Ähnlichem gelöst und man erhält:

a=0,5    b=1,5    c=0     d=-2

Also: f(x)=0,5x³+1,5x²-2

 

Alles klar? Sonst frag gerne nach.

 

Zur f)

Zwei Wendepunkte: Also mindestens vom Grad 4. Dazu noch Symmetrisch zur y-Achse:

Ansatz: y=ax^4+bx^2+c

Bedingungen:

f(0)=1

f(1)=0

f'(1)=0

Gleichungen dazu:

c=1

a+b+c=0

4a+2b=0

-> a=1  b=-2   c=1

Unsere Funktion lautet also f(x)=x^4-2x^2+1

 

Grüße

 

Answer 2

Aufgabe 361c): 

Bestimme den Grad der Polynomenfunktion aus den gegebenen Eigenschaften. Ermittle den Funktionsterm. 

Der Graph der Polynomfunktion hat genau einen Wendepunkt an der Stelle x=-1

f''(-1) = 0

, schneidet die x-Achse an den Stellen x=-2

f(-2) = 0

und x=1

f(1) = 0

und geht durch den Punkt (0/-2). 

f(0) = -2

Ich hab keinen Plan wie ich das herausfinden soll.

Erstmal haben wir hier 3 Bedingungen und damit eine Funktion 3. Grades mit 4 Parametern.

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b

Ich setzte jetzt die obigen Bedingungen in ein Gleichungssystem um

 

f''(-1) = 0
2·b - 6·a = 0

f(-2) = 0
- 8·a + 4·b - 2·c + d = 0

f(1) = 0 
a + b + c + d = 0

f(0) = -2
d = -2

Wir lösen das Gleichungssystem mit z.B. mit dem Additionsverfahren und erhalten die Lösung

a = 0.5 ∧ b = 1.5 ∧ c = 0 ∧ d = -2

Die Funktion lautet daher

f(x) = 0.5x^3 + 1.5x^2 - 2

Ich mache jetzt noch eine Skizze der Funktion

Eine Schritt für Schritt Lösung des Gleichungssystems bekommst Du z.B. bei Wolfram Alpha, wenn du damit noch Schwierigkeiten hast.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2b-6a%3D0%2C-8a%2B4b-2c%2Bd%3D0%2Ca%2Bb%2Bc%2Bd%3D0%2Cd%3D-2

Comments

Aufgabe 361f) 

Bestimme den Grad der Polynomenfunktion aus den gegebenen Eigenschaften. Ermittle den Funktionsterm.

Der Graph einer Polynomenfunktion ist symmetrisch zur y-Achse,

Es gibt nur gerade Potenzen von x

besitzt den Hochpunkt H(0/1),

f(0) = 1
f'(0) = 0 --> Ist bei einer Achsensymmetrischen Funktion eh ein Extrempunkt.

den Tiefpunkt T(1/0)

f(1) = 0
f'(1) = 0

und zwei Wendepunkte.

Wir haben 3 Bedingungen und damit eine Funktion 4. Grades mit 4 Parametern

f(x) = ax^4 + bx^2 + c 

Ich übersetze mir die Bedingungen in ein Gleichungssystem

f(0) = 1
c = 1

f(1) = 0
a + b + c = 0

f'(1) = 0
4·a + 2·b = 0

Die Lösung dieses Gleichungssystems ist a = 1 ∧ b = -2 ∧ c = 1. Damit ergibt sich die Funktion

 

f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 

Hier eine Skizze der Funktion:

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Leute Danke für eure Hilfe

Ich hab in 3 foren gefragt. Es tut mir leid für crossposting

Danke für die Hilfe

 

MfG

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Wieso ist es bei 361f)  f(x) = ax^4 + bx^2 + c

und nicht f(x)=ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

 

Danke für euer Verständnis

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Der Graph einer Polynomenfunktion ist symmetrisch zur y-Achse

==> Es gibt nur gerade Potenzen von x

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wenn es symmetrisch zur y-achse ist, dann ist b=0 das weiß ich aber wieso ist d auch =0

Sry ich bin halt nicht so gut ihn Mathe

und hat man eig. nicht 4 Bedingungen weil Tiefpunkt und Hochpunkt setzt man doch bei der 1. Ableitung ein?

Danke für dein Verständnis

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Gerade Potenzen sind ja immer symmetrisch zur y-Achse weil

(-x)^2 = (x)^2
(-x)^4 = (x)^4
(-x)^6 = (x)^6
f(-x) = f(x)

 

Das gilt für ungerade Potenzen jedoch nicht. Ungerade Potenzen sind symmetrisch zum Koordinatenursprung.

(-x) = -(x)
(-x)^3 = -(x)^3
(-x)^5 = -(x)^5
f(-x) = -f(x)

D.h. ich darf für eine achsensymmetrische Funktion nur gerade Potenzen von x nehmen.

Answer 3

c)"Der Graph der Polynomfunktion hat genau einen Wendepunkt an der Stelle x=-1, schneidet die x-Achse an den Stellen x=-2 und x=1 und geht durch den Punkt P(0|-2)."

\(f(x)=a*(x+2)*(x-1)*(x-N)\)

\(P(0|-2)\):

\(f(0)=a*(0+2)*(0-1)*(0-N)=-2\)

\(-2a*(-N)=-2\)   \(a*(-N)=1\)     \(a=-\frac{1}{N}\)

\(f(x)=-\frac{1}{N}*(x+2)*(x-1)*(x-N)=-\frac{1}{N}*[(x^2+x-2)*(x-N)]\)

Wendepunkt an der Stelle \(x=-1\)

\(f´(x)=-\frac{1}{N}*[(2x+1)*(x-N)+(x^2+x-2)*1]\)

\(f´´(x)=-\frac{1}{N}*[2*(x-N)+(2x+1)*1+2x+1]\)

\(f´´(-1)=-\frac{1}{N}*[2*(-1-N)+(2*(-1)+1)+2*(-1)+1]\)

\(-\frac{1}{N}*[2*(-1-N)+(2*(-1)+1)+2*(-1)+1]=0\)

\(N=-2\)    \(a=\frac{1}{2}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}*(x+2)*(x-1)*(x+2)\)