Berechnen des Matrizenproduktes A^k, wenn in A gilt ai,j = 1, falls j=i+1 und ai,j=0, sonst.

Question

Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper und \( A=\left(a_{i, j}\right) \in K^{n \times n} \) mit

\( a_{i, j}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & , \text { falls } j=i+1 \\ 0 & , \text { falls } j \neq i+1 \end{array}\right. \)

Berechnen Sie für jedes \( k \in \mathbb{N} \) das Matrixprodukt \( A^{k}=\underbrace{A \cdot A \cdots A}_{k \text { Faktoren }} \).

Answer 1

Schau dir doch mal an,wie diese Matrizzen aussehen .

Mache dir mal Beispiele: 2x2 3x3 4x4

Die Matrizzen bestehen nur aus 1 und 0 . Wo liegen diese einsen. Welche Form hat diese Matrix.Was kann man darüber über die Eigenwerte aussagen. Und was kann man aus den Eigenwerten folgern?

Daraus kannst du dann direkt A^k folgern.

Answer 2

Deine Matrizen sehen wie folgt aus: (Bsp. n=5)

A=

01000

00100

00010

00001

00000

A^2 =

00100

00010

00001

00000

00000

A^3=

00010

00001

00000

00000

00000

usw.

Für A^k gilt

ai,j = 1, falls j=i+k

und

ai,j=0, sonst.

Comments

also gilt, wenn k=n, dass alles 0 ist?

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Ja. Schon. Aber du sollst A^k allgemein angeben.

Daher allgemein, wie oben geschrieben

: Für A^k gilt

ai,j = 1, falls j=i+k

und

ai,j=0, sonst.

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aber wie allgemein?