Funktion abschnittsweise integrieren

Question

Folgende Funktion ist gegeben:

\( f(y)=\left\{\begin{aligned} \frac{y}{6}, & 0 \leq y \leq 2 \\ \frac{6-y}{12}, & 2<y \leq 6 \\ 0, & \text { sonst. } \end{aligned}\right. \)

Ich soll den Erwartungswert von y bestimmen. Also multipliziere ich die Funktionen jeweils mit y und integriere dann über das entsprechende Intervall.

Für den Abschnitt von 0 <= y <=2 erhalte ich y^2 / 6. Wenn ich das nun integriere und als Grenzen 2 und 0 einsetze erhalte ich.  4/9

Beim zweiten Integral sind die Grenzen doch folgendermaßen: Obergrenze: 6 Untergrenze: 3, richtig?

Wenn ich nun auch das zweite Integral über die entsprechenden Grenzen integriere, muss ich diesen Wert dann einfach zu 4/9 addieren?

Answer 1

Mein Vorschlag:

\( \int_0^2 \, \frac y6 \, dy = \frac1{12} [x^2]_0^2=\frac4{12}=\frac13 \)

\( \frac1{12}\int_2^6\, 6-y \,dy = \frac1{12}[\,6y-\frac{y^2}{2}\,]_2^6 = \frac1{12}[\,6\cdot 6-\frac{6^2}{2}\,] -\frac1{12}[\,6\cdot 2-\frac{2^2}{2}\,]= \frac1{12}[\,36-18\,] -\frac1{12}[\,12-2\,] = \frac{18}{12}-\frac{10}{12}=\frac 8{12}= \frac23 \)

\( \int_0^2 \, \frac y6 \, dy + \frac1{12}\int_2^6\, 6-y \,dy =\frac 13 + \frac23=1 \)