Exponentialfunktionen und ableitung bzw. Untersuchung

Question

wir haben in der Schule gerade das thema Exponentialfunktionen.. Aber irgendwie versteh ich das nicht mit den Ableitungen bzw. die Elementare Funktionsuntersuchung. Könnte mir jemand da vielleicht helfen.. Also hauptsächlich geht es wegen den Ableitungen der verschiedenen Grafen/Gleichungen wie e^{2x+4} oder ln(x) oder a^x

Answer 1

Für die Ableitung der e-Funktion nimmst Du immer die Kettenregel, dabei ist alles was im Exponenten steht die innere Funktion. Die komplette e-Funktion ist außen. zu Ableitung rechnest Du innere mal äußere Ableitung, also

e^2x+4

innere Funktion: 2x+4 ; innere Ableitung: 2

äußere Funktion e^2x+4 ; äußere Ableitung  e^2x+4 (weil ja e abgeleitet immer e ist)

ableitung insgesamt: 2*e^2x+4

ln(x) ist abgeleitet 1/x (das merkt man sich)

a^x kann man ja auch schreiben als e^ln(a)x und dann wieder mit Kettenregel ableiten:

innere Funktion: ln(a)x ; inner Abl.: ln(a)

äußere Funktion: e^ln(a)x = äußere Abl.

also wieder innere Abl. mal äußere Abl.:

ln(a)e^ln(a)x

jetzt wandeln wir das e^ln(a)x wieder in a^x um und finden als Ableitung für a^x:

ln(a)*a^x

Comments

also ist bei a^x immer ln(a)*a^x

zum Beispiel gibt es die FUnktion 3^x und da ist die Ableitung ln(3)*3^x ???

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und wenn ich so eine aufgabe wie f(x)= x^2 * ln(x) oder (ln x)^3 habe?

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also ja a^x ist abgeleitet immer ln(a)*a^x

x^2*ln(x) wäre ein Produkt zweier verschiedener Funktionen und wäre mit Produktregel abzuleiten (hattet ihr die schon?)

(ln(x))^3 ist eine verkette Funktion, da nimmt man auch die Kettenregel. ( ln(x) ist innere Funktion, (...)^3 ist äußere Funktion

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ja die hatten wir schon.. danke schön für die schnelle antwort