Maximaler Flächeninhalt des Rechteckes

Question

dem oberhalb der x- Achse liegende Abschnitt der Parabel mit der Gleichung y=-0,25x²+6 ist ein Rechteck mit einem maximalen Inhalt einzuschreiben.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechteckes.

Kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen ?

Answer 1

Hier zunächst die Skizze

Zu jedem x -Wert gehört ein f ( x ) = y Wert

Das Rechteck hat die Fläche

A ( x ) = x * y  = x * f ( x )
A ( x ) = x * ( -0,25x² + 6 )

Linksseitig gibt es dieselbe Fläche nocheinmal. Daher

A ( x ) = 2 * x * ( -0,25x² + 6 )

Nun 1.Ableitung bilden und zu 0 setzen.
Siehe die Berechnungen vom Mathecoach.

Comments

Danke für die " beste Antwort ".

Answer 2

f(x) = -0.25·x^2 + 6

A = 2·x·f(x) = 12·x - x^3/2

A' = 12 - 3/2·x^2 = 0 --> x = 2·√2

A = 12·(2·√2) - (2·√2)^3/2 = 16·√2

Answer 3

y=-0,25x²+6   0 setzen gibt

-0,25x²+6  = 0

-0,25x^2   = - 6

x^2 = 24 

x = ±wurzel(24)

Rechteck hat also die Ecken (-u/0)  (u/0)  ( u/ -0,25u²+6  ) und ( - u/ -0,25u²+6  )

mit 0 < u < wurzel(24)

Rechtecksfläche A(u) = 2u * ( -0,25u²+6 ) =  -0,5u^3 + 12u

A '(u) = -1,5 u^2 + 12      A'(u)=0 gibt u = wurzel(8)  (neg. Lösung entfällt)

A '' ( u) = -3u  also A ''(wurzel(8)) negativ, also Max. von A bei u=wurzel(8)