Vollständige Induktion und Nilpotenz

Question

Hallo.

Ich muss für eine Aufgabe zeigen, dass für eine obere Dreiecksmatrix

\(B=(b_{ij})_{i,j=1,...,n}\in\mathbb{C}^{(n,n)}\) (also eine oberen Dreiecksmatrix mit 0 auf der Diagonale)

\(b_{ij}=0, i=1,...,n\)

gilt:

\(B^n=0.\)

Ich habe es mit vollständiger Induktion versucht, aber beim Induktionssschritt habe ich eine \((n+1)\times(n+1)\)-Matrix und komme da nicht weiter.

Danke.

Comments

Kennt ihr den Satz von Cayley-Hamilton?

Die Behauptung folgt nämlich direkt daraus, wenn man das charakteristische Polynom einer Dreiecksmatrix kennt :)

Answer 1

Kannst wohl einfacher per Induktion beweisen, dass für beliebig große

quadratische obere Dreiecksmatrizen mit 0en in der Hauptdiagonale

gilt :

M^2 hat oben links 0  0

0   0

einen 2*2 Block mit Nullen.

M^3 hat einen 3x3 Block etc.

Dann hast du natürlich am Ende bei einer nxn Matrix einen nxn Block,

also lauter 0en.

Comments

Ich habe nun den Induktionsbeweis versucht. Jedoch ist mir doch etwas unklar. Wenn \(M\) eine beliebige quadratische obere Dreiecksmatrix (mit Nullen auf der Hauptdiagonale) ist, dann ist \(M\) eine \(k\times k\)-Matrix, wo \(k\) nicht notwendigerweise gleich n ist. Was ist jedoch, wenn \(k<n\)? Dann kann die Matrix \(M^n\) keinen \(n\times n\)-Block mit Nullen links oben haben. Ich bin etwas verwirrt.

Wenn jedoch \(M\) eine \(n\times n\)-Matrix ist, dann gibt es immer noch Probleme, da die Induktionsvoraussetzung nur für \(n\times n\)-Matrizen gilt.