Gegeben ist die Funktion f(x)=e^x*(e^x-2)

Question

a) Bestimme die Nullstellen und ermittle das Verhalten des Graphen an den Rändern des Definitionsbereichs.

b) Untersuche die Funktion auf Extrem- und Wendepunkte und zeige, dass f´(x)=2e^x*(e^x-1) gilt.

Comments

Gehört der 2. Teil der  Funktion auch in die Potenz ?

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nein, nur die beiden x sind Potenzen

Answer 1

a)
e^x-2 = 0
e^x = 2

x = ln2

x-->+oo ---> f(x) gegen +oo

x--->-oo ---> f(x) gegen 0

b)

Produktregel:

f'(x) = e^x*(e^x-2)+e^x*e^x = e^{2x}-2e^x+e^{2x} = 2*e^{2x}-2e^x = 2e^x*(e^x-1)

Extremstellen:

f '(x) =0

e^x-1 = 0
x= ln1 = 0

Wendepunkt:

f ''(x) = 0

Produktregel erneut angewendet: (Bitte nachrechnen)

f''(x) = 2e^x(2e^x-1) 

2e^x-1 =0

e^x = 1/2

x = ln(1/2) = ln1-ln2 = 0-ln2 = -ln2

Comments

Stimmt soweit alles.
Man kann noch die Funktionswerte ausrechnen.
E ( 0  | f ( 0 )
W ( -ln(2) | f ( - ln(2) )

Und noch nachsehen ob E ein Tief- oder Hochpunkt ist.