Binomialkoeffizienten: Beweis für alle n und k. Behauptung ((k+n-1) tief k) = ((k+n-1) tief (n-1))

Question

Folgendes soll bewiesen werden:

Für alle n aus dem Bereich der natürlichen Zahlen und für alle k aus dem Bereich der natürlichen Zahlen inklusive 0 gilt:

(k+n-1)  =   (k+n-1)
   k                  n-1

Zum Verständnis: Jeweils alles rechts und links vom Gleichheitszeichen soll von einer großen Klammer umgeben sein,konnte ich hier nicht korrekt darstellen

Comments

Wer hat denn im Titel "n tief k" geschrieben?
Diese Notation ist sehr ungewöhnlich und irreführend; besser, weil sehr viel verbreiteter und auch typographisch genauer ist "n über k"!

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"über" wird bei Brüchen verwendet. "tief" ist durchaus in vielen Lehrbüchern üblich. Wenn du aussagekräftigere Überschriften mit euren Begriffen setzt, passiert das nicht.

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"über" wird bei Brüchen verwendet. "tief" ist durchaus in vielen Lehrbüchern üblich

Mir ist weder die eine noch die andere variante in der Literatur begegnet, was natürlich nichts bedeuten muss.

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Nach Recherche stelle ich fest, dass es sich um eine lokale Besondeheit handeln könnte:

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Binomialkoeffizient#n_tief_k.3F

Das ändert nichts an meiner Meinung zur Qualität dieser Schreibweise im Hinblick auf ihre Brauchbarkeit.

Answer 1

(k + n - 1 über k)

= (k + n - 1)! / (k! * (k + n - 1 - k)!)

= (k + n - 1)! / (k! * (n - 1)!)

= (k + n - 1)! / ((n - 1)! * k!)

= (k + n - 1)! / ((n - 1)! * (k + n - 1 - (n - 1))!)

= (k + n - 1 über n - 1)

Answer 2

Jede Auswahl von k Leuten aus k+n-1 Leuten entspricht genau einer Auswahl von n-1 Leuten aus k+n-1 Leuten und andersherum (nämlich genau denjenigen Leuten, die nicht ausgewählt wurden). Es gibt aber (k+n-1 über k) Möglichkeiten, aus k+n-1 Leuten k auszuwählen bzw. (k+n-1 über n-1) Möglichkeiten, aus k+n-1 Leuten n-1 auszuwählen. Folglich ist
(k+n-1 über k)=(k+n-1 über n-1). qed