Surjektiv? & Algebraische Vielfachheit bestimmen

Question

Hi, bäruchte erstmal Hilfe bei der b), A ist injektiv, da der Kern(A)=0 ist, aber wie bestimme ich jetzt, ob diese Abbildung surjektiv ist?

Und bei c) hab ich raus det (A-λI)=...=(1-λ)*(3-λ)*(3+3λ) ⇒ λ₁=1 ; λ₂=3 _; λ₃=-1. Wie form ich das jetzt um, sodass ich die algebraische Vielfachheit ablesen kann? Komme auf keine Lösung:/

Answer 1

aus a) geht doch bereits hervor, dass die Determinante der Matrix ungleich 0 ist. Somit ist sie invertierbar. Das bedeutet  insbesondere, dass die lineare Abbildung die diese Darstellungsmatrix hat bijektiv ist.

bei c) hast du dich verrechnet es ist:

$$ \det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)^2 $$

Eigenwerte und ihre algebraischen Vielfachheiten kann man direkt ablesen. Die Eigenwerte sind die Nullstellen und die zugehörigen alg. Vielfachheiten entsprechen den Exponenten der Linearfaktoren in der Zerlegung des charakteristischen Polynoms.

Gruß

Comments

Dankeschön, hab alles hinbekommen! Könntest du mir vielleicht auch bei d)&e) behilflich sein?
Mein Problem bei d) ist λ_3,4=3. Für die geo.VFH wende ich ja die Formel Kern(A-3I) an, jedoch finde ich keine Lösung für das GS. Und bei e) wende ich dann auch nur noch die obige Formel auf die anderen λ an und dann kann ich ja jeweils einen Vektor aus den verschiedenen Eigenräumen benutzen oder? Jedoch hab ich dann nur 3 Vektoren,  bilden die dann trotzdem eine Basis?

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ür die geo.VFH wende ich ja die Formel Kern(A-3I) an, jedoch finde ich keine Lösung für das GS. Und bei e) wende ich dann auch nur noch die obige Formel auf die anderen λ an 

Versteh ich nicht. Warum klappt es erst nicht und dann doch, außerdem musst du das alles schon bei d) machen? Jeder Eigenwert dieser Matrix hat geometrische Vielfachheit 1, d.h. die Eigenräume sind jeweils 1-dimensional.

Jedoch hab ich dann nur 3 Vektoren,  bilden die dann trotzdem eine Basis?

Selbstverständlich nicht für den \(\mathbb{R}^4\). Wie können denn 3 Vektoren einen 4-dim Raum aufspannen....

Insgesamt hast du also ein schönes Beispiel für eine Matrix die invertierbar, aber nicht diagonalisierbar ist.

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Die Formel für geo.VFH muss nicht unbedingt bei d) angewendet werden, da 1≤ geo.VFH ≤ alg.VFH und man somit die geo.VFH von λ₁ & λ₂  auch so bestimmen kann. Diagonalisierbarkeit hatten wir noch gar nicht.. hab meinen Fehler jetzt gefunden.  Danke dir !

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Schön, dass deine Methodik nicht nur auf Rechnen basiert :).Gerne.

Answer 2

Für Eigenwerte benötige ich kein Polynom. Die erste Spalte der Matrix A ist Eigenvektor zum Eigenwert 1 . Dann kannst du eine 2 X 2 Kästchenmatrix isolieren :

1    9

A  '  :=       0    2         (  1  )

Wie gesagt; mit E1 = 1 hast du ja schon einen Eigenwert von A ' . Ganz gleich ob du jetzt Spur oder Determinante von A ' bemühst

Sp  (  A  '  )  =  E1  +  E2    (  2a  )

det  (  A  '  )  =  E1  E2    (  2b  )  

Stets wirst du auf E2 = 2 geführt . Und genau so machen wir jetzt weiter . Ich behaupte jetzt mal ganz frech so in meinem jugendlichen Leichtsinn, E3;4 sind Wurzeln des quadratischen Polynoms

x  ²  -  p  x  +  q  =  0     (  3a  )

Zur Anwendung kommt der Satz von Vieta:

Sp  (  A  )  =  E1  +  E2  +  E3  +  E4  =  3  +  E3  +  E4 =  9    (  3a  )

E3  +  E4  =  p  =  6    (  3b  )

det  (  A  )  =  E1  E2  E3  E4  =  3  +  E3  +  E4 =  9    (  3a  )

E3  +  E4  =  p  =  6    (  3b  )

Comments

Tschuldigung; er bringt dauernd Fehlermeldung max 8 000 Zeichen. Also nochmal



      det  (  A  )  =  E1  E2  E3  E4  =  E1  E2  E3  E4  =  2  E3  E4  =  18    (  1.3d  )
           
                                                                                       E3  E4  =  q  =  9    (  1.3e  )


            Verheddrt habe ich ich mich auch noch mit den ganzen gleichungen; die quadratische Gleichung ( 1.3a )


      x  ²  -  6  x  +  9  =  (  x  -  3  )  ²  =  0   (  1.3a  )


    Zunächst mal wende ich mich aller schärfstens gegen eine Unterscheidung zwischen einer sog. " geometrischen " und einer " algebraischen " Vielfachheit; beides gibt es niocht. Es gibt nur DIE Vielfachheit eines Eigenwerts, das ist seine Vielfachheit in der Säkulardeterminante ( SD )
   Um diese ganzen Probleme richtig einordnen zu können, wäre es Sinn voll, wenn ihr euch mal in Kowalsky oder Greub, jeweils Bd. 2 , die Theorie der ===> Elementarteiler ( ET ) herein zieht.
     Was ist eigentlich die anschauliche geometrische Bedeutung hinter der Vielfachheit? Die Nullstellen des ===> Minimalpolynoms sind genau die Eigenwerte; dieses induziert doch eine ===> ortokomplementäre Zerlegung der ===> Eins; und die Dimension des ===> Komponentenraums ( KR ) zu jedem Eigenwert ist gleich seiner Vielfachheit.
    Übrigens; keines Wegs wurde in ( 1.3b-e ) bei Berechnung der Spur bzw. Determinante " präjudiziert "  , A sei diagonalisierbar.  Die Dimension des KR erlaubt mir dieses Vorgehen.
   Mit anderen worten; die ET Theorie lehrt, dass jede Matrix ihre eigene SD löst.  Damit kann das Minimalpolynom einer 4 X 4 Matrix höchstens vom 4 . Grade sein; und hier genau macht sich nun die Entartung bemerkbar.  Zwei Alternativen sind denkbar:

   1) ein ET  ( x - 1 ) , ein ET  ( x - 2 ) und ein QUADRATISCHER ET ( x - 3 ) ²  ;  A ist nicht diagonalisierbar und Minimalpolynom = SD .
  2) ein ET  ( x - 1 ) , ein ET  ( x - 2 ) und einLINEARER  ET  ( x - 3 )  ; A ist diagonalisierbarund das Minimalpolynom kubisch in x bzw. A .
   Im Zeitalter des Online Matrixrechners wird sich das wohl entscheiden lassen.

https://matrixcalc.org/de/#{{1,9,e,3},{0,2,42,1},{0,0,3,0},{0,0,1,3}}^2





                                                   1    9     e    3
                                                   0    2    42    1        =  :   A       (  2.1a  )
                                                   0    0     3    0
                                                   0    0     1    3






                                                   1    27    4*e+381    21
                                                   0     4        211           5     =     A  ²    (  2.1b  )
                                                   0     0          9            0
                                                  0     0           6            9






                                                1    63    13*e+2298    93
                                                0     8          806         19        =   A  ³     (  2.1c  )
                                                0     0           27            0
                                                0     0           27            27

                   


           Wir suchen  also nach einer Beziehung der Art

    
     A  ³  +  a2  A  ²  +  a1  A  +  a0  *  |1  =  0     (  2.2  )


     Beginnen wir mit dem Matrixelement ( 4;3 )


    
         6  a2  +  a1  =  (  -  27  )      (   2.3a  )


        Jetzt  (  1;2   )

  
          2  a2  +  a1  =  (  -  4  )    (  2.3b  )

       a2  =  (  -  23/4  )  ;  a1  =  15/2

  
    Diese Beziehung geht bereits bei dem Matrixelement ( 1 ; 4 ) schief ; damit ist der ET quadrartisch und Alternative ( 1 ) erfüllt, die Matrix ist nicht diagonalisierbar.

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Ich hätte doch gestern ins ===> Schlaftürlein gehen sollen; sonst werde ich im ===> Kämmerleinletzm mit einem Löffel Grießbrei bestraft .

Wenn man mal eine Nacht drüber geschlafen hat, sieht alles ganz einfach aus. Das ganze Problem war doch; lautet das Minimalpolynom

p  (  A  ;  min  )  (  x  )  =  (  x  -  1  )  (  x  -  2  )  (  x  -  3  )     (  3.1 )

weil ( 3.1 ) ist der einzige Teiler der SD , welcher alle eigenwerte von A enthält. Wir brauchen nix mehr wie Klammern auflösen; am besten mit dem Satz von Vieta:

E1  =  1  ;  E2  =  2  ;  E3  =  3       (  3.2  )

a2  =  -  (  E1  +  E2  +  E3  )  =  (  -  6  )   (  3.3a  )

a0  =  -  E1  E2  E3  =  (  -  6  )   (  3.3b  )

a1  =  (  E2  +  E3  )  E1  +  E2  E3  =  11     (  3.3c  )

Suchen wir nach einem Gegenbeispiel; etwa  Matrixelement ( 4;3 )