Mengenlehre - Teilmengen oder echte Teilmengen?

Question

es gibt in der Mengenlehre ja Teilmengen und echte Teilmengen. Bei einer Website habe ich gelernt, dass A = {1,2} eine Teilmenge von B = {1,2} ist.

Also grafisch dargestellt quasi ein großer Kreis, in dem ein kleiner Kreis ist und in diesem Kreis sind die Elemente der Menge A = {1,2}, welches eine Teilmenge von B =, {1,2} ist.

Aber warum legt man dabei überhaupt eine Teilmenge fest? Denn bei einer Teilmenge sind ja sozusagen alle Mengen von der Obermenge in einer anderen Menge eingeordnet, das heißt man kann es quasi weglassen, da bei einer Teilmenge alle Mengen der Obermenge auch in der Teilmenge enthalten sind und andersrum, was jedoch bei einer echten Teilmenge nicht der Fall ist. Da hat man in der echten Obermenge Elemente, die nicht in der echten Teilmenge enthalten sind, von daher würde sich eine Trennung von Mengen innerhalb der Obermenge lohnen, da man evt. verschiedene Eigenschaften von Zahlen charakterisieren möchte, z.B Ganze Zahlen sind echte Obermenge von natürlichen Zahlen

Meine Frage ist also, warum braucht man Teilmengen und Obermengen überhaupt, wenn die Obermenge B = {a,b} genau die selben Elemente beinhaltet, wie die Teilmenge A={a,b}? Meiner Meinung nach sind nur echte Teil und Obermengen sinnvoll.

Answer 1

Was Du im Moment lernst, ist nur ein "Werkzeug", um damit später einmal vielleicht "richtige" Aufgaben damit bearbeiten zu können.

Falls du in die IT-Branche stolpern solltest, kommt das sehr oft vor, dass zweimal "das Gleiche" zueinander in Beziehung gesetzt werden muss, weil sich das einfach so ergibt. Da ist es egal, ob das "sinnvoll" ist, oder nicht, es muss definiert sein , um so einen Fall bearbeiten zu können.

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Vielleicht ist Dir schon mal nach einer Gleichungsbearbeitung die Zeile $$0=0$$ begegnet. Die wird ja auch hingeschrieben, obwohl man das Blatt an der Stelle auch weiss lassen könnte, weil ja Nicht immer gleich Nichts ist, also schreibt  halt nichts hin ...

Comments

Danke für die Antwort. Mir fällt es nur meistens schwer etwas anzuwenden, was ich irgendwie nicht richtig nachvollziehen kann oder was für mich unlogisch / überflüssig ist. weil ich mir dann quasi ja auch völlig ohne Kontext ausdenken kann und das dann als eine Definition hinstellen, ohne dass es in Wahrheit eine Aussage hat oder sinnvoll ist.

Das mit der Teilermenge ist für mich als würde man eine große Kiste haben, wo noch eine Kiste drinne ist und in der Kiste in der Kiste würde man alles reintun, obwohl man es ja eigentlich auch direkt in die erste reintuen könnte.

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Das ist eines der grundsätzlichen Probleme der Pädagogik in der Mathematik.

Es ist wie einem Amazonasindianer, der noch nie bekleidete Menschen gesehen hat, die Möglichkeiten und Funktionen einer Schiebelehre beizubringen. Er denkt sich "Was für ein Schmarrn, ich sehe doch, welcher Ast für einen Pfeil oder Speer geeignet ist, warum soll ich jetzt jeden Ast messen, bevor ich ihn vom Baum schlage?"

Schwer ihm zu vermitteln, dass er das unbedingt können muss, sonst kann er später keine Autos bauen.

"Was sind Autos? Ich komme doch zu Fuss überall hin, wo ich jagen will"

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Haha stimmt, ja vielleicht hast du Recht. Ich mache weiter.

Answer 2

Hi Avenger,

Solche Definitionen haben schon ihren Sinn. Dass dieser nicht auf anhieb klar ist, kann schonmal öfter vorkommen. Der Sinn mancher Definitionen und auch ihre Schönheit offenbart sich meist erst wenn man etwas tiefer im Thema ist und sieht was mit Ihnen alles gemacht werden kann und welche Folgerungen sich erschließen.

Die Teilmenge allgemein zu halten (durch \( A \subseteq B \) ) hat unter anderem den Sinn, dass man den Fall \(A = B \) mit abdecken möchte und nicht jedes mal extra dazu schreiben muss. In manchen Situationen ist dies sehr vorteilhaft. Das Zeichen "\(\subseteq\)" hat im grunde mindestens genauso seine Daseinsberechtigung wie das Zeichen "\(\leq\)".

Das mit der Teilermenge ist für mich als würde man eine große Kiste haben, wo noch eine Kiste drinne ist und in der Kiste in der Kiste würde man alles reintun, obwohl man es ja eigentlich auch direkt in die erste reintuen könnte.  

Das ist eine falsche Analogie und ein Trugschluss deinerseits. Wäre \(A\) die großte Kiste und \(B\) die kleine Kiste. Dann würde nicht \( A = B \) gelten sondern \( B \in A \), denn \(A\) ist in diesem Fall eine Menge, die eine andere Menge (nämlich \(B\)) enthält! In der Mathematik spiel es immer eine große Rolle was für Objekte man genau betrachtet.

Gruß