Geometrische Vielfachheit bestimmen

Question

Ich habe mir gedacht, dass die Matrix eine Blockmatrix ist und ich deshalb die gV blockweise (wie von mir oben eingezeichnet) bestimmen kann.

Der zweite Block ist in JNF, der doppelte EW 2 besitzt also die gV(2)=1 [alternativ Block2-2Id -> nur Nullen -> gV=1).

Der erste Block hat den doppelten EW 1; da Block1-Id keine Nullmatrix erzeugt ->  gV(1)=2.

Als Lösung ist jedoch gV(1)=1 uns gV(2)=2 angegeben. Das kann ich nicht nachvollziehen; ist meine Herangehensweise falsch?

Comments

Wie kommst du auf diese Idee

"da Block1-Id keine Nullmatrix erzeugt ->  gV(1)=2."

eigentlich müsste es doch in diesem Fall genau das NICHT bedeuten.

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Ich dachte weil

Und erst wenn man diese Matrix quadriert, hat man eine Nullmatrix, sodass das Minimalpolynom die Potenz 2 besitzen müsste...

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Was hat das mit der geometrischen Vielfachheit des Eigenwertes zu tun?

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Ich dachte die Potenz des MP gibt die Größe des größten Jordanblocks an und damit auch die gV

Answer 1

also:

"Ich dachte die Potenz des MP gibt die Größe des größten Jordanblocks an"

Da kann ich noch zustimmen (falls du das meinst was ich denke), wobei das nicht sonderlich toll formuliert ist. Aber:

"damit auch die gV "

das ist falsch. Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts \(\lambda\) ist gleich der Anzahl der zugehörigen Jordanblöcke!

Aber den ganzen Schickschnack braucht man überhaupt nicht, man kann hier die geometrischen Vielfachheiten auch ganz einfach nach der Definition bestimmen: der Eigenraum zu \(\lambda = 1 \) ist eindimensional!
Wenn man das mal durchmacht, dann sieht man vielleicht auch mal an einem rechnerischen Beispiel wie das mit der JNF zusammen hängt.

Gruß