Funktion 3. Grades bestimmen

Question

Ich habe eine steckbriefaufgabe, bei der ich MINDESTENS eine Funktion dritten Grades bestimmen muss. Die Aufgabe soll folgende Eigenschaften besitzen:

a) in der die Funktion im Punkt (2/3) eine maximale Steigung hat

b) in der die Funktion im Punkt (2/3) die maximale Steigung 1 hat

c) variieren sie die Aufgabe so, dass sie zu einer eindeutigen Lösung kommen

HILFE

Comments

"MINDESTENS eine Funktion" heisst, dass eine Funktion genügt, du aber auch zwei oder mehr solche Funktionen bestimmen darfst.

a), b) und c) sind als drei Aufgaben zu lesen.

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Ich weiß nicht wie das gehen soll

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Bitte die Aufgabenstellung richtig wiedergeben!

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Da steht genau "bestimmen sie mindestens eine ganzrationale Funktion, die genannte Eigenschaften hat"

Answer 1

eine Funktion dritten Grades bestimmen
a) in der die Funktion im Punkt (2/3) eine maximale Steigung hat
bedeutet, dass an der Stelle x=2 die 2. Ableitung  Null und die dritte Ableitung negativ ist.
Allgemeine Funktionsgleichung:
$$ y(x)= ax^3+bx^2+cx+d $$
drei Ableitungen bilden und Vorgaben einsetzen

Comments

Das habe ich mir auch schon gedacht aber um eine Funktion zu bilden, brauch ich doch 4 Bedingung oder nicht? Oder muss ich gar keine eindeutige Funktion, sondern nur Bedingungen bilden?

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$$ y(x)=ax^3+bx^2+cx+d $$ $$ y'(x)=3ax^2+2bx+c $$ $$ y''(x)=6ax+2b $$ $$ y'''(x)=6a $$
Bedingungen einsetzen:
$$ y(2)=3 $$ $$ y'(x)\gt 0 $$ $$ y''(x)=0 $$ $$ y'''(x)\lt0 $$---
$$ 3=a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+c \cdot 2+d $$ $$ 12a+4b+c \gt0 $$ $$ 12a+2b=0 $$
$$ 6a \lt 0 $$
---$$ a \lt 0 $$
$$ b=-6a $$ $$ 12a-4 \cdot 6a+c \gt0 $$  $$ 12a-24a+c \gt0 $$ $$ -12a+c \gt0 $$ $$c \gt 12a $$
---
$$ 3=a\cdot 8+b\cdot 4+c \cdot 2+d $$
$$ 3=a\cdot 8+(-6 a)\cdot 4+(\gt 12a) \cdot 2+d $$
$$ 3=a\cdot (8-24 )+(\gt 24a) +d $$
$$ 3=a\cdot (-16)+(\gt 24a) +d $$
$$ 3+16 a =(\gt 24a) +d $$
$$ 3+16 a -d=(\gt 24a)  $$
$$ 3+16 a -d\gt 24a  $$
$$ 3 -d\gt 8a  $$
$$ 3 -8a\gt  d $$
$$d \lt   3 -8a $$
$$d \lt   3 +8 (-a) $$

Answer 2

a) in der die Funktion im Punkt (2/3) eine maximale Steigung hat

also Wendpunkt bei  Punkt (2/3)

f '' (2) = 0    und  f ( 2 ) = 3   und   f ' ' ' (2) < 0   (sonst könnte es minimale Steigung sein)

b) in der die Funktion im Punkt (2/3) die maximale Steigung 1 hat

f '' (2) = 0    und  f ( 2 ) = 3   und   f ' ' ' (2) < 0  und   f ' (2) = 1

c)  mit f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d

gibt b) 

6a*2 + 2b = 0         also b = -6a

8a + 4b + c + d = 3

12a + 4b + c = 1

wegen   b = -6a

32a+2c+d =  3         und  36a + c = 1

also c = 1-36a

außerdem ist f ' ' ' (x) = 6a   also für jedes negative a ist    f ' ' ' (2) < 0  erfüllt.

-40a +d = 1     also geht es z.B mit a = -1   b= 6    c  =   37    d=-39

Damit es eindeutig wird   , muss noch eine Bedingung hinzu,

etwa ( 0/-39) liegt auf dem Graphen.

Answer 3

a) in der die Funktion im Punkt P(2/3) eine maximale Steigung hat

P muss der Scheitelpunkt der Funktion sein.

Beginne mit y = -x^3 und verschiebe die zugehörige Kurve.

y = -(x-2)^3 + 3         Ist eine Lösung für a)

Kontrolle:

~plot~ -(x-2)^3 + 3;-x^3~plot~

b) in der die Funktion im Punkt (2/3) die maximale Steigung 1 hat

Hier hast du nun nicht mehr so viele Freiheiten.

c) variieren sie die Aufgabe so, dass sie zu einer eindeutigen Lösung kommen 

erfinde z.B. bei " in der die Funktion im Punkt (2/3) die maximale Steigung 1 hat " noch weitere Bedingungen.