Wie beweist man die e-Funktion ohne Ableitung? e^x = lim_(n->unendlich) (1+x/n)^n

Question

Hi

Wie kann man beweisen dass e^x = (1+x/n)ⁿ für n in N ausgehend von e=(1+1/n)ⁿ  und ohne Ableitung und Tylor?

Answer 1

lim (n --> ∞) (1 + x/n)^n

lim (n --> ∞) EXP(LN((1 + x/n)^n))

lim (n --> ∞) EXP(n·LN(1 + x/n))

Kümmern wir uns zunächst nur um den Exponenten

lim (n --> ∞) n·LN(1 + x/n)

lim (n --> ∞) LN(1 + x/n) / (1/n)

L'Hospital

lim (n --> ∞) - x/(n·(x + n)) / (- 1/n^2)

lim (n --> ∞) n·x/(x + n)

lim (n --> ∞) (x) / (x/n + 1) = x

Der Exponent hat den Grenzwert x. Damit ist die Potenz

lim (n --> ∞) EXP(n·LN(1 + x/n)) = EXP(x) = e^x

Comments

Das wäre so die normale Herangehensweise denke ich. Allerdings verwende ich L'Hospital und benötige dazu auch die Ableitung. Allerdings nicht im herkömmlichen Sinne sondern als Ableitung des Zählers und Nenners getrennt.

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Das wäre so die normale Herangehensweise

"Normal" wäre die Substitution  m  =  n / x  (ein Einzeiler) .

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(1 + x/n)^n

man nimmt m = n / x

(1 + 1/m)^{m*x}

((1 + 1/m)^m)^x

Bliebe trotzdem zu klären warum ((1 + 1/m)^m) den Grenzwert e hat. Und dann würde man wohl wieder wie in meiner Rechnung verfahren.

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würde man wohl ...

muss man wohl tatsächlich