Fläche A soll maximal werden. Zielfunktion A=pi*r2+a2. Nebenbedingung U=60=2*pi*r+4a

Question

Es geht um eine Fläche die aus einem Kreis und einem Quadrat besteht.

Der gesamt Umfang beider Flächen ist 60mm.

Jetzt soll die Fläche A bei einem Umfang U von 60mm Maximal werden.

Dafür habe ich folgende Gleichungen aufgestellt:

1. A=pi*r^2+a^2

2. U=60=2*pi*r+4a

Jetzt habe ich 2. Gleichung auf Grund einiger Fehlversuche einmal nach a und einmal nach r umgestellt.

Jetzt müsste man ja entweder r oder a in die 1. Gleichung einsetzen dann die 1. Ableitung bilden und die 0 Stellen berechnen.

Könnte das bitte einmal jemand vormachen da ich anscheinend immer irgend wo einen Fehler einbaue und nicht nachvollziehen kann wo ich ihn mache.

Besten Dank!

Comments

Wie liegen den Kreis und Quadrat zueinander auf dem Blatt? Ineinander, nebeneinander?

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In welcher Beziehung stehen Kreis und Quadrat? Ist beispielsweise aus einem Kreis ein Quadrat ausgeschnitten oder umgekehrt?

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Sie Tangieren sich nur also im prinzip nebeneinander

Die Lösung für a soll 8,4mm und für r 4,2mm sein.

Answer 1

Also

U = 4a + 2*pi*r = 60
a = 15 - pi·r/2

A = a^2 + pi*r^2
A = (15 - pi·r/2)^2 + pi·r^2 = pi·(pi + 4)/4·r^2 - 15·pi·r + 225
A' = pi·r·(pi + 4)/2 - 15·pi = 0
r = 30/(pi+4) ~ 4.2

a = 60/(pi + 4) ~ 8.4

Das ist allerdings ein Flächenminimum. Daher musste man mit den Rändern vergleichen. Damit muss r maximal sein

r = 60/(2*pi)

Answer 2

Bist du sicher, dass du ein Maximum suchst? Ich vermute, dass verschwindendes Quadrat a=0 und ganze Fläche im Kreis eine grössere Gesamtfläche ergibt. 

1. A=pi*r²+a²

2. U=60=2*pi*r+4a

60 - 2 pi r = 4a

15 - pi r/2 = a

in 1.

A = pi r^2 + (15 - pi r/2 )^2

A = pi r^2 + 225 - 15 pi r - pi^2 r^2 /4 

A = (pi + pi^2 / 4 ) r^2 - 15 pi r + 225

A' = 2( pi + pi^2 /4 ) r - 15 pi soll = 0 sein

(2 pi + pi^2 / 2 ) r = 15 pi          |:pi

(2 + pi / 2 ) r = 15

r = 15/ (2 + pi/2) = 4.20074 mm

15 - pi r/2 = a = 8.4015 mm

Wie zu Beginn gesagt, ergibt das hier wohl nicht die maximale eher die minimale Gesamtfläche.