Ist die Abbildung L linear? L: V -> R: u -> (uo , u).

Question

Meines Erachtens nach ist ein Skalarprodukt linear, da die ersten zwei Eigenschaften eines SP besagen, dass dieses additiv und homogen im ersten Argument sei. Doch was ist nun in der Aufgabe gefragt? Soll ich die Abbildung auf Linearität prüfen mit den üblichen Kriterien : 1.) L(u+v)=L(u)+L(v) und 2.) αL(v) = L(αv)? 

Falls ja, was wäre dann mein u und v?

Ich wäre euch sehr dankbar, falls ihr mir hier irgendwie weiterhelfen könntet. :D

Answer 1

dass dieses additiv und homogen im ersten Argument sei.

Hier geht es allerdings um das zweite!

und wenn du es mit

1.) L(u+v)=L(u)+L(v) und 2.) αL(v) = L(αv)?

machen willst, dann wären u und v aus V beliebig und du

zeigst das erste etwa so: Seien u,v aus V

L(u+v)= (uo,u+v) = (uo,u) + (uo,v)  weil additiv im 2. arg.

                             =  L(u)+L(v) .

Comments

Verstehe. Ihrer Formulierung zufolge, ergibt sich mir die Frage, ob es denn eine andere Möglichkeit gebe die Linearität zu prüfen?

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wenn du bei den Eigenschaften des SP hast

additiv im ersten Argument und symmetrisch, dann ist es

auch additiv im 2. Argument, also ist die

Abbildung mit dem Variablen 2. Argument additiv und

ebenso auch homogen, also linear.

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Stimmt. Das ergibt Sinn. Danke nochmals.