<< Wursteln, Ableiten und Extremstellen berechnen -
So siehste aus . . .
Ich würde hier mit einer Substitution arbeiten; es gibt doch so Aufgaben, wo du erst mal den Definitionsbereich abklären musst. Hast du das vergessen?
( - 3 ) < = x < = 3 ( 1a )
Ich setze
x =: 3 cos ( ß ) ; 0 < = ß < = Pi ( 1b )
Wenn wir den ggt = 3 unterdrücken, lautet deine Funktion
f ( x ) = f ( ß ) = 1/2 cos ( ß ) + sin ( ß ) ( 2a )
Ist dir aufgefallen, dass in deiner Funktion ein (Halb)kreis sein Unwesen treibt? Genau wie beim Kreis ist ( 1b;2a ) die ===> Polardarstellung von f ( x )
Halt Stop; Ableiten is noch lange nich. Jede Kurvendiskussion hat mit der Grobskizze zu beginnen; und jetzt kommt es eben zum Schwur. Mit einem Mal begreifst du, dass Wurzelfunktionen kryptische Objekte sind; denen siehst du absolut nichts an. Doch ernsthaft; gebildete Matematiker haben immer wieder Strategien ersonnen, diese zu unterdrücken. Dagegen in ( 2a ) ist die Antwort ja einfach. Du hast eine Phasen verschobene Sinusfunktion der Periode 2 Pi mit ( vorerst ) unbekannter Amplitude. Und da das Definitionsintervall ( 1b ) eine halbe Periode umfasst, können wir sicher sein, dass sich im Innern besagten Intervalls ein und nur ein Extremum befindet.
Der Unterschied zwischen mir und Mathef. ICH weiß bereits vor jeder Ableitung, wie viel Extrema es gibt; Mathef muss sich auf eine Probe einlassen, die im Grunde unverstanden bleibt.
Sicher; an sich spräche nichts dagegen, dass du auch Routine erwirbst, wie man Wurzelfunktionen ableitet - aber wozu? Wenn du mir mal eine Analogie gestattest, Es befriedigt mich schon lange nicht mehr; mit Wurzelausdrücken zu hantieren, kommt mir immer mehr so vor wie die Unterhaltung mit einem geistig behinderten Menschen. Ich hatte mal einen Kollegen; der fragte mich beispielsweise jede Woche
" Wenn ich mit einer Rakete als gradaus fliege; wo komme ich da hin? "
Der Typ hatte absolut keinen Plan von Sternbildern, Galaxien, Kosmologie und der Expansion des Weltalls. Wenn ich dem seine Frage beantworte, merkt der gar nicht, dass das die Antwort war.
Genau so hier; Wurzelfunktionen sind eine völlig ungeeignete Sprache, um solche Probleme zu bearbeiten. Gerade die schwächeren Schüler warne ich; verrennt euch nicht so sehr in technische Einzelheiten. Wendet euch lieber jenen Vermeidungsstrategien zu, welche die Funktionen für euch übersichtlich halten.
Wäre dir die Aufgabe gegeben in der Form ( 2a ) , du hättest die Frage gar nicht erst gestellt. DIE Ableitung kannst selbst du:
f ' ( ß ) = cos ( ß ) - 1/2 sin ( ß ) = 0 ( 2b )
cos ( ß ) = 1/2 sin ( ß ) | ² ( 2c )
Die Hochschulmatematiker mit ihren drei Silvestern Mensa, die es sowieso nicht mehr nötig haben, weil sie ja schon alles können; die machen sich das Leben bequem . . .
In ( 2c ) kommt der Pythagoras zum Einsatz.
sin ² ( ß ) = 4 [ 1 - sin ² ( ß ) ( 3a )
sin ( max ) = ( 2/5 ) sqr ( 5 ) ( 3b )
Nein es ist NICHT egal, ob du in ( 3a ) mit Sinus oder Kosinus weiter rechnest. Für x in ( 1b ) brauchen wir jeden Falls den Kosinus. Quadrieren in ( 2c ) ist bekanntlich keine ===> Äquivalenzumformung; und wenn du in ( 3b ) den Kosinus berechnest mit " Plus Minus Wurzel " , wissen wir zu unserer großen Bestürzung ja schon, dass ein Vorzeichen falsch sein muss - die Lösung ist eindeutig.
Da tut uns der Sinus aber den Gefallen, auf dem Intervall ( 1b ) positiv zu sein; mit der positiven Wurzel sind wir auf der sicheren Seite in ( 3b )
Jetzt noch ( 2c;1b )
cos ( max ) = ( 1/5 ) sqr ( 5 ) ( 3c )
x ( max ) = ( 3/5 ) sqr ( 5 ) ( 3d )
Minimum oder Maximum? Das ist hier die Frage. Bei einer Sinusfunktion entscheidet sich das doch trivial; bei einem Wellenberg ist f ( x ) positiv, im Tal negativ. ( 2a;3bc ); man sieht unmittelbar, dasss hier die Summe von zwei positiven Termen vorliegt ===> Maximum .
