Bestimmen einer Schnittmenge 2er Ebenen in Koordinatenform wobei x2=0 bei einer Ebene.

Question

Hey ihr ganzen Mathematiker :-),

 hoffe ihr könntet mir hier mal schnell weiterhelfen, da ich seit 2 Stunden ein Video, Eintrag suche, dass mir sozusagen meine Lösung erklärt.

Und zwar habe ich E1 : x1 +x2+x3=0 E2: x1+x3=0

Das umstellen in die Parametergleichung von E1: ergibt (0/0/0) + r (1/0/.1) + t(0/1/-1)

einsetzen in E2 : -t = 0

zum genaueren Verständnis lade ich noch ein Bild in den Anhang.

Jetzt komme ich jedoch nicht mehr weiter, da ich nicht weiß, wie ich weitermachen soll, da ich keine Abhänigkeit von r und t bestimmen konnte. hat die Gerade somit keine schnittmenge oder kann ich einfach jetzt 0 einsetzen und die Gerade (0/0/0) +r ( 1/0/-1) ist die Lösung???

wäre nett, wenn ihr meine Frage beantworten könntet 

Comments

Eine Gerade kannst du nicht in Koordinatenform angeben.

Wenn du die Parameterform hast, bist du fertig.

Answer 1

E1 : x1 +x2+x3=0 

E2: x1+x3=0

Ich glaube du hast das zu komplizert gemacht.

E1: x+y+z = 0        (I)

E2: x+z = 0            (II)

--------------------------        (I)-(II)

y = 0

Zusätzliche Bedingung x+z=0 

Nun 2 Punkte auf beiden Ebenen "erfinden"

P(1|0|-1)

Q(0|0|0) 

Schnittgerade:

g: r = t (1|0|-1) 

M = { P(t |0|-t) | t ∈ ℝ }   ist die gesuchte Schnittmenge

Comments

also ist quasi die schnittmenge ein punkt? un zwar t/0/-t?

und nicht eine schnittgerade mit aufvektor 0/0/0

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Nein:

M = { P(t |0|-t) | t ∈ ℝ }   ist die gesuchte Schnittmenge.

Das ist die Menge aller Punkte mit den Koordinaten (t|0|t) . Die liegen auf der angegebenen Geraden mit der Gleichung: 

g: r = t (1|0|-1)  

Es handelt sich übrigens um eine Gerade in der Seitenrissebene, da y = 0  für jeden Punkt auf g. 

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es ist doch dann eine Menge mit bestimmen Punkte, und keine Gerade, denn für eine Gerade bräuchte man doch einen Aufpunkt, oder nicht?! man kann ja jetzt nicht hingehn und sagen das 000 der aufpunkt ist, oder?! man hat somit doch nur eine Menge von Punkten und keine Gerade, bin ich da richtig?

Zwei weitere Fragen, wenn sie mir nochmal weiterhelfen könnten.

(b) Bestimmen Sie, falls existent, einen Vektor ungleich dem Nullvektor, der orthogonal zu E1 und E2 ist.

 (c) Bestimmen Sie, falls existent, eine Gerade in E1, die E2 in genau einem Punkt schneidet.

zu B) jetzt muss ich ja einfach nur einen Vektor der orthogonal zu (t/0/-t) bilden, richtig?

Meine Frage ist jetzt ob ich eine Fallunterscheidung für t machen muss bzw. ob das überhaupt möglich ist weil man das t nicht bestimmen kann. ein Vektor wäre doch dann quasi (-t/0/t), wäre das richtig? wobei die x2 koordinate auch x E R sein könnte, da x21 eh 0 wird beim multiplizieren.

c) bei c habe ich wirklich kaum eine Ahnung, was ich machen sollte, da ich zwar weiß, wie man die Lage zw gerade und ebene berechnet, aber mit dem Parameter t nicht wirklich klarkomme. vielleicht eine gerade mit dem aufpunkt (t/0/-t) und aufpunkt 000 ?!

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denn für eine Gerade bräuchte man doch einen Aufpunkt, oder nicht?! man kann ja jetzt nicht hingehn und sagen das 000 der aufpunkt ist, oder?

Selbstverständlich darfst du 

g: r =(0|0|0) +  t (1|0|-1)   

dazuschreiben.

Dann P(0|0|0) ist in der fraglichen Menge enthalten (wähle t = 0). 

(b) Bestimmen Sie, falls existent, einen Vektor ungleich dem Nullvektor, der orthogonal zu E1 und E2 ist.

Das geht nicht, da E1 und E2 linear unabhängige Normalenvektoren haben.

Es wäre nur möglich, wenn E1 parallel zu E2 wäre.

 (c) Bestimmen Sie, falls existent, eine Gerade in E1, die E2 in genau einem Punkt schneidet.

E1 : x1 +x2+x3=0,  E2: x1+x3=0      

Ein Vorschlag:

Schnittpunkt liege auf der Schnittgeraden und sei (1|0|-1)

Weiterer Punkt auf E1, der nicht auf E2 liegt sonst aber beliebig gewählt, ist (1|-1|0)

h : r = (1|0|-1) + t ( 0|-1|1)

Überprüfe das durch Rechnung.