Funktionsgleichungen. Parabel 4. Ordnung ist symmetrisch zur y-Achse, geht durch P(1| 2.25) und T(2|0)

Question

Ich sitze an meinen Hausaufgaben und komme bei einer Aufgabe irgendwie nicht vorwärts. Vielleicht kann mir ja jemand von euch weiterhelfen :)

Eine Parabel 4. Ordnung ist symmetrisch zur y-achse und geht durch den Punkt 1 und 9/4. Die Parabel hat den Tiefpunkt T(2/0)

Wenn möglich mit einem Rechenweg, sodass ich es nachvollziehen kann

Answer 1

Eine Parabel 4. Ordnung ist symmetrisch zur y-achse 

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

und geht durch den Punkt 1 und 9/4. 

f(1) = 9/4

Die Parabel hat den Tiefpunkt T(2/0)

f(2) = 0

f'(2) = 0

Stelle damit dann die Gleichungen auf und löse das Gleichungssystem. Bekommst du das hin?

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Hier noch ein paar Hinweise

Die Gleichungen

a + b + c = 9/4

16·a + 4·b + c = 0

32·a + 4·b = 0

Die Lösung

a = 0.25 ∧ b = -2 ∧ c = 4

Answer 2

f (x) = a*x^4 + b*x^2 + c

f (1) = a + b + c = 9/4

f (2) = 16a + 4b + c = 0

f'(x) = 4ax^3 + 2bx

f'(2) = 32a + 4b = 0

f(2) - f (1):

15 a + 3b = -9/4

f'(2): -96a -12b =0

f (2)-f (1): 60a +12b = -9

Zusammenaddieren

-36 a = -9

a = 1/4

b = -2

c = 4

f (x)=1/4x^4 - 2x^2 + 4

Comments

Vielen Dank für die Ausführliche Verrechnung! Ihr seid super :)

Answer 3

Eine Parabel 4. Ordnung ist symmetrisch zur y-Achse und geht durch den Punkt P\((1 |  \frac{9}{4}) \) . Die Parabel hat den Tiefpunkt \(T_1(2|0)\)

Da die Parabel 4. Ordnung symmetrisch zur y-Achse ist hat sie einen weiteren Tiefpunkt bei \(T_2(-2|0)\) Die Tiefpunkte sind auch doppelte Nullstellen. Somit bietet sich die Nullstellenform als Lösungsweg an:

\(f(x)=a(x-2)^2(x+2)^2\)

P\((1 | \frac{9}{4} )\) liegt auf  \(f\):

\(f(1)=a(1-2)^2(1+2)^2=9a= \frac{9}{4}\)

\(a=\frac{1}{4}\)

\(f(x)=\frac{1}{4}(x-2)^2(x+2)^2\)