Ganzrationale Funktion 5ten Grades aufstellen

Question

Hallo ihr,

ich habe hier eine Aufgabe und zwar sind mir folgende Punkte gegeben:

A(-3/0) B(-2/0) C(-1/1) D(1/-1) E(2/0) F(3/0)

mit diesen Punkten soll ich nun eine ganzrationale Funktion aufstellen und ZWAR AUF 2 VERSCHIEDENEN WEGEN!!

Den ersten Weg habe ich schon gemacht und zwar mit dem Linearengleichungssystem und dann

mit dem Gaußverfahren auflösen bin auch zu folgenden Ergebnis gekommen was stimmt und zwar:

f(x)= -1/24 x^5 + 13/24 x^3 - 3/2x

meine frage ist nun, kann mir einer sagen auf welchem anderen Weg ich auf dieses Ergbenis kommen kann

dann ich kenne nur den weg über das Lineare Gleichungssystem.


Grüße Nadine

Answer 1

A(-3/0) B(-2/0) C(-1/1) D(1/-1) E(2/0) F(3/0)

Da du offensichtlich die 4 Nullstellen hast, können wir auch die Nullstellenform verwenden

f(x) = (ax + b)(x + 3)(x + 2)(x - 2)(x - 3)

f(-1) = -24a + 24b = 1
f(1) = 24a + 24b = -1

Additionsverfahren

48b = 0
b = 0

24a = -1
a = -1/24

f(x) = (-1/24 * x)(x + 3)(x + 2)(x - 2)(x - 3)

Comments

Wenn man zusätzlich wie JotEs noch erkennt, das die Punkte offenbar punktsymmetrisch liegen langt eine Gleichung:

f(x) = (ax)(x + 3)(x + 2)(x - 2)(x - 3)

f(1) = a * 4 * 3 * (-1) * (-2) = -1
a = -1/24

f(x) = (-1/24 * x)(x + 3)(x + 2)(x - 2)(x - 3)

Fertig.
 

Answer 2

Nun, wenn man sich die gegebenen Punkte ansieht, könnte man auf die Idee kommen, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Das aber würde bedeuten, dass die zugrundeliegende Funktion ausschließlich ungerade Exponenten hätte. Die Funktion würde dann also die allgemeine Form

f ( x ) = a x ^ 5 + b x ^ 3  + c x ^ 1

und man bräuchte infolgedessen nur 3 Punkte (und demzufolge auch nur ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen), um die Funktionsgleichung dieser Funktion zu bestimmen. Dazu muss man sich allerdings drei geeignete Punkte heraussuchen. Die Punkte A, B, C bzw. D, E, F sind geeignet (warum?)

Also:

- 1 = a * 1 ^ 5 + b * 1 ^ 3 + c

0 = a * 2 ^ 5 + b * 2 ^ 3 + 2 c

0 = a * 3 ^ 5 + b * 3 ^ 3 + 3 c


Gleichungssystem lösen. Man erhält:

a = - 1 / 24, b = 13 / 24 , c = - 3 / 2

also dieselben Koeffizienten, die du mit der anderen, aufwendigeren Methode berechnet hast.