Da Lu ja a) schon beantwortet hat, reiche ich mal Aufgabe b) nach:
Als erstes bestimmst du die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems:
$$ A = \left( \begin{array} { c c c c } { d } & { 4 } & { 5 } & { d } \\ { 1 } & { d } & { - 2 } & { 1 } \\ { 2 } & { 2 d } & { - d ^ { 2 } } & { d } \end{array} \right) $$
Diese Matrix muss nun mit dem Gaußalgorithmus in Stufennormalform gebracht werden. Dafür tausche ich erstmal die ersten beiden Zeilen, um so eine 1 oben links zu erzeugen und beginne dann mit dem Algorithmus:
$$ \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { d } & { - 2 } & { 1 } \\ { d } & { 4 } & { 5 } & { d } \\ { 2 } & { 2 d } & {- d^2 } & { d } \end{array} \right) → \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { d } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 4 - d ^ { 2 } } & { 5 + 2 d } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 - d ^ { 2 } } & { d - 2 } \end{array} \right) → \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { d } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { \frac { 5 + 2 d } { 4 - d ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \frac { d - 2 } { 4 - d ^ { 2 } } } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { d } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \frac { ( 5 + 2 d ) ( 2 - d ) } { ( 4 - d ) ^ { 2 } } } \\ { 0} & {0 } & { 1 } & { \frac { d - 2 } { 4 - d ^ { 2 } } } \end{array} \right) $$ $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 - d \cdot \frac { ( 5 + 2 d ) ( 2 - d ) } { ( 4 - d ) ^ { 2 } } + 2 \frac { d - 2 } { 4 - d ^ { 2 } } \\ 0 & 1 & 0 & \frac { ( 5 + 2 d ) ( 2 - d ) } { ( 4 - d ) ^ { 2 } } \\ 0 & 0 & 1 & \frac { d - 2 } { 4 - d ^ { 2 } } \end{pmatrix} → \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 - d \cdot \frac { ( 5 + 2 d ) ( 2 - d ) } { ( 4 - d ) ^ { 2 } } + 2 \frac { d - 2 } { 4 - d ^ { 2 }) } \\ 0 & 1 & 0 & \frac { 5 + 2 d } { ( 2 - d ) ( 2 + d ) ^ { 2 } } \\ 0 & 0 & 1 & - \frac { 1 } { 2 + d } \end{pmatrix} $$
Die Lösungen für y und z lassen sich nicht mehr vereinfachen.
Für die Lösung für x:
$$ 1 - d \cdot \frac { 5 + 2 d } { ( 2 - d ) ( 2 + d ) ^ { 2 } } + 2 \frac { d - 2 } { ( 2 - d ) ( 2 + d ) } = \frac { ( 2 - d ) ( 2 + d ) ^ { 2 } } { ( 2 - d ) ( 2 + d ) ^ { 2 } } - \frac { d \cdot ( 5 + 2 d ) } { ( 2 - d ) ( 2 + d ) ^ { 2 } } + 2 \frac { ( d - 2 ) ( 2 + d ) } { ( 2 - d ) ( 2 + d ) ^ { 2 } } = \frac { ( 2 - d ) \left( 4 + 4 d + d ^ { 2 } \right) - 5 d - 2 d ^ { 2 } + 2 d ^ { 2 } - 8 } { ( 2 - d ) ( 2 + d ) ^ { 2 } } = \frac { 8 + 8 d + 2 d ^ { 2 } - 4 d - 4 d ^ { 2 } - d ^ { 3 } - 5 d - 2 d ^ { 2 } + 2 d ^ { 2 } - 8 } { ( 2 - d ) ( 2 + d ) ^ { 2 } } = \frac { d ^ { 3 } + 2 d ^ { 2 } + d } { ( d - 2 ) ( 2 + d ) ^ { 2 } } = \frac { d ( d + 1 ) ^ { 2 } } { ( d - 2 ) ( 2 + d ) ^ { 2 } } $$
Diese Lösung
x = d(d+1)²/[(d-2)(2+d)²]
y = [5+2d]/[(2-d)(2+d)²]
z = -1/(2+d)
gilt nur für d ≠ ±2.
Falls d = ±2 gilt, so müssen wir nochmal zurück zum Gaußalgorithmus: Für d = -2 lautet die letzte Zeile bereits im zweiten Schritt 0 = -4, das System ist also nicht lösbar.
Für d = 2 lautet die Matrix im zweiten Schritt:
$$ \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 2 } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 9 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) $$
Übersetzt man das zurück in zwei Gleichungen, erhält man:
x + 2y = 1
z = 0
Es gibt also unendlich viele Lösungen, wobei
z = 0
y ∈ R
x = 1-2y
gelten muss.
