sei \( x \in \mathbb{R} \). Wir können o.B.d.A. annehmen, dass \( x > 0 \) gilt, da sich für \( x < 0 \) der Ausdruck als \( \frac{x^n}{n!} = (-1)^n \frac{(-x)^n}{n!} \) schreiben lässt. In dieser Schreibweise sieht man, dass sich die Aussage auf das ursprüngliche Problem reduziert, da \( (-1)^n \) nicht konvergent aber beschränkt ist. Der Fall \( x = 0 \) ist trivial.
Nun gibt es ein \( k \) mit \( k > x \), z.B. \( k = \lceil x \rceil + 1 \).
Es ist dann \( \frac{x^{k+m}}{(k+m)!} = \prod_{i=1}^{k-1}\limits \frac{x}{i} \prod_{i=k}^{k+m}\limits \frac{x}{i} = \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} \prod_{i=k}^{k+m}\limits \frac{x}{i} \).
Der Faktor \( \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} \) ist hierbei eine Konstante. Für den anderen Faktor gilt
\( 0 < \prod_{i=k}^{k+m}\limits \frac{x}{i} < \prod_{i=k}^{k+m}\limits \frac{x}{k} = \left( \frac{x}{k}\right)^{m+1} \rightarrow 0 \) für \( m \rightarrow \infty \).
Damit geht auch \( \prod_{i=k}^{k+m}\limits \frac{x}{i} \) gegen \( 0 \) und foglich jedes Produkt von \( \prod_{i=k}^{k+m}\limits \frac{x}{i} \) mit einer Konstanten, wie zum Beispiel \( \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} \prod_{i=n}^{n+m}\limits \frac{x}{i} = \frac{x^{k+m}}{(k+m)!} \).
Es ist daher
\( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x^n}{n!} = \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{x^{k+m}}{(k+m)!} = 0\).
Mister
