vektoraufgabe dritter Punkt gesucht

Question

Geben sind die Punkte A(4/3/2) und B(5/5/4). Gesucht sind alle Punkte C in der xy-Ebene so, dass das Dreieck ABC ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck mit der Hypotenuse BC wird.

Answer 1

C = (x|y|0)     [ da C in x-y-Ebene ]

rechter Winkel bei A  →

\(\overrightarrow{AC}\) • \(\overrightarrow{AB}\) = 0   [ ⇔  \(\overline{AC}\) ⊥ \(\overline{AB}\) ]

\( \begin{pmatrix} x-4 \\ y-3 \\ -2 \end{pmatrix}\) • \( \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\) = 0

(4-x) • (6-2y) • 4 = 0

Menge der gesuchten Punkte C:  { (x|y|0) ∈ℝ³ | (4-x) • (6-2y) = 0 }

Gruß Wolfgang

 

 

Answer 2

Die z Koordinate von C ist ja schonmal 0, da der Punkt in der xy-Ebene liegt.

also

C(x|y|0)

Am Punkt A ist der rechte Winkel, da BC die Hypotenuse ist.

Für Punkt C müssen wir also den Vektor AB so abändern, dass er zur xy-Ebene zeigt.

Allerdings soll dieser Vektor gelcih lang bleiben.

AB=(1|2|2)

Wir müssen vor die z-Koordinate von AB ein negatives Vorzeichen setzen.

und erhalten

AC=(1|2|-2)

Dieses Verfahren nennt sich Spiegelung.

Aufjeden fall müssen wir jetzt noch Vektor AC auf den Punkt A addieren um Punkt C zu erhalten:

C=A+AC=(5|5|0)

Hier ein Link zur Spiegelung:

https://www.youtube.com/watch?v=uGGGwCChnmI

Hier ein Link zu einer Skizze:

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=punkt(4%7C3%7C2%20%22a%22)%0Apunkt(5%7C5%7C4%20%22b%22)%0Apunkt(x%7Cy%7C0%20%22Text%22)%0Avektor(4%7C3%7C2%201%7C2%7C-2%20%22a%22)