Lösung der Gleichung z^6 - 4z^4 = (z^2 - 4) i

Question

hey,

leider hab ich mich total festgefahren in der Aufgabe und schaffe es nicht meinen Gehirnknoten zu lösen.

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie alle z∈ℂ, die der Gleichung

z⁶ - 4z⁴ = (z² -4)i ,    wobei i die imaginäre Einheit ist

Answer 1

z⁶ - 4z⁴ - i • z² + 4i = 0

setze w = z²

w³ - 4 w² - i • w + 4i = 0        w₁ = 4 ist offensichtlich eine Lösung

Polynomdivision (Hornerschema):

Info zu Hornerschema:

www.youtube.com/watch?v=tMehEcEsRsY

(w³ - 4 w² - i • w + 4i) : (w-4) = w² - i = z⁴ - i

→ z² = 4 oder z⁴ = i

→ z_1,2 = ± 2   

z⁴ = i :     r = | i | = 1 , φ = π/2 

Formel:  ⁿ√z  = ⁿ√r • (cos(φ/n) + i • sin(φ/n + k/n • 2π) mit k = 0,1 ... n-1

r = |z| = |x + i • y| = √(x²+y²) ,  φ = arccos(x/r) falls y≥0, φ = - arccos(x/r) falls y<0

z₃ = √(√2/4 + 1/2) + i ·√(1/2 - √2/4)  ≈    0.9238795325 + 0.3826834323 · i

z₄ = - √(√2/4 + 1/2) - i ·√(1/2 - √2/4) ≈   - 0.9238795325 - 0.3826834323 · i

z₅  = √(1/2 - √2/4) - i ·√(√2/4 + 1/2)  ≈   0.3826834323 - 0.9238795325 · i

z₆ = -√(1/2 - √2/4) + i ·√(√2/4 + 1/2) ≈  - 0.3826834323  + 0.9238795325 · i 

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hallo

Durch faktoriisieren erhältst Du:

(z-2) (z+2) (z^4-i)=0

Satz vom Nullprodukt:

1.) z-2=0

z_1=2

2) z+2=0

z_2= -2

3) z^4-i=0

Betrag und  Phase bilden

dann Einsetzen von |a| und φ in die allg. Formel:

z_k= |a|^{1/n} *e ^{ j((φ +2kπ)/n)}

k=0.1.2.3

n=4 ; |a| = 1; φ =π/2

z_3≈  - 0.92 - i 0.38

z_4=  0.92 + i 0.38

z_5= 0.38 -i 0.92

z_6= -0.38 +i 0.92