Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben. Höhe? Erwartungswert? berechnen

Question

folgende Aufgabe ist gegeben:

Antworten:


Ich bin mir nicht sicher, ob meine Antworten richtig sind.

Beste Grüße

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Skizze-Korrektur:

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Hallo. Die Fläche unter einer Dichtefunktion sollte aber 1 sein.

Du kommst auf viel mehr mit deiner Rechnung. Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/368646/dichte-funktion-gegeben-h-bestimmen#a368652

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Die neue Skizze ist eine Verteilungsfunktion und passt nicht zur Dichte im Bild oben.

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Hallo Lu,

da hat Monaco eine ähnliche Aufgabe lösen müssen. In meiner Aufgabe brauchte ich nicht das 0.1-Quantil berechnen. :-)

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Genau. Da hast du noch Glück gehabt. ;)

Answer 1

a) Die Breite ist 4, nicht 1/4.

b) \(f(x) = \begin{cases}\frac{A}{2}x + \frac{A}{2}& \text{falls } -1 \leq x < 1\\-\frac{A}{2}x + \frac{3}{2}A& \text{falls } 1<x\leq 3\\0&\text{sonst}\end{cases}\)

c) \( F_x(t) = \int_{-\infty}^t f(x) \text{d}x = \begin{cases}0&\text{falls } t < -1\\\frac{A}{4}t^2 + \frac{A}{2}t& \text{falls } -1 \leq t \leq 1\\1-F_x(2-t)&\text{sonst}\end{cases} \)

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Hallo oswald,

vielen Dank für Deine Unterstützung! Ich habe den Erwartungswert erneut berechnet, bin mir aber nicht sicher. Die Skizze folgt danach:

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Wenn eine Zufallsgröße X Werte von -1 bis 3 annehmen kann, kann dann der Erwartungswert bei 10 liegen?

In der Aufgabe steht man soll den Erwartungswert angeben und nicht man soll ihn berechnen. Kann man sich dann nicht mal überlegen ob man ihn nicht einfach ohne Berechnung angeben kann. Natürlich könnte das auch eine Falle vom Lehrer oder Professor sein. Aber meistens arbeiten diese Leute ohne fiese Fallen.

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Wenn man den Erwartungswert hätte berechnen sollen, dann hätte man dies mithilfe des Integrals lösen können. Ich habe es nur deswegen angenommen, da ich ein Beispiel gelesen habe wie man E(X) mittels Integralrechnung berechnet. Dann müsste doch E(X) immer 1 sein, oder? Ab 3 würde die blaue Linie (siehe Skizze) konstant bleiben.

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Du berechnest den Erwartungswert über

E(x) = ∫(-∞ bis ∞) x * f(x) dx

Aber wie bereits gesagt braucht man hier den Erwartungswert gar nicht berechnen sondern kann diesen einfach Angeben. Du solltest nur versuchen zu begründen warum.

Und nur weil die Verteilungsfunktion ab 3 den Wert 1 annimmt ist nicht der Erwartungswert 1. Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun.

Answer 2

Ich habe da folgende Ergebnisse heraus

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Ich habe das Integral:

\( \int \limits_{-1}^{3} 0.25|x-1| \mathrm{d} x \)
nochmal durchgerechnet und es kommt für E(x)=1 LE raus. Die Betragsstriche müssen gesetzt werden, da es keine negative Fläche geben soll.

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Ich habe die Betragsstriche gewählt, weil man so eine Funktion nehmen kann, anstatt zwei lineare Funktionen. Für dich wäre es aber eventuell von Vorteil wie oswald die Funktion aufzuteilen in zwei lineare Funktionen.

Du bringst viele Dinge durcheinander. Den Erwartungswert kannst du nicht wie oben über das Integral berechnen.

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Achso, jetzt verstehe ich. Ich habe mich schon gewundert. Du hast Recht ich werde es wie es oswald geschrieben hat lernen.

Answer 3

Statt 1/4 muss es 4 heißen! 

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Hallo Gast az0815,

vielen Dank für den Hinweis! Ich habe auch einen Fehler im Integral entdeckt. Ich werde alles nochmal neu durchgehen.

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Bevor du mit dem Integral weitermachst: \(f\) ist die Dichtefunktion, die auch im Bild dargestellt ist. Sie wird nirgends negativ und besteht aus vier statt aus drei Teilen.

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Meinst du statt: Integral von 0.5x²→Integral von 0.5x³

Es würde x⁴/4 (in den Grenzen von -1 bis 3)=10 LE rauskommen

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Ich meinte eigentlich, dass es nicht sinnvoll ist, über das Integral nachzudenken, bevor du nicht die Dichtefunktion richtig bestimmt hast.

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Achso, ich verstehe nicht woher A/2x+A/2 sowie -A/2x+3/2A herkommen? Ich weiß nur, dass die einzelnen Abschnitte eingeteilt werden, z.B. was passiert von -1 bis 1 und was von 1 bis 3. 0 sind alle anderen Werte außerhalb des Intervalls.

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A soll in (a) berechnet werden, ist also von da an eine bekannte Zahl. Rechne also zunächst A aus und notiere die Rechnung. Das ist die Aufgabe in (a).

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Alles klar:

           2x+2  falls -1≤x≤1
f(x)={ -2x+6 falls 1≤x≤3
           0        sonst

            0  falls t<-1
F_x(t)={ t²+2t falls -1≤t≤3
            1-F_x(2-t)   sonst

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Nicht abschreiben, sondern selbst rechnen!

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Zunächst solltest du das A richtig bestimmen. Ansonsten wirst du auch die Folgeaufgaben nicht richtig lösen können.

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1=A·4·1/2
A=1/2=1/2

m=(1/2)/4=1/8

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> Achso, ich verstehe nicht woher A/2x+A/2 sowie -A/2x+3/2A herkommen?

Setze die Punkte (-1| 0) und (1|A) in die allgemeine Funktiongleichung y = mx + n ein. Löse das resultierende lineare Gleichungssystem.

Setze die Punkte (1|A) und (3|0) in die allgemeine Funktiongleichung y = mx + n ein. Löse das resultierende lineare Gleichungssystem.

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Jetzt weiß ich wenigstens wie die einzelnen Schritte ablaufen. Ich bedanke mich nochmals an alle die versucht haben mir zu helfen.

Schönen Abend noch :-)

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oswald: Die Fläche zwischen dem Graphen einer Dichtefunktion und der x-Achse muss 1 sein. Deshalb kannst du A zu Beginn gleich ausrechnen.

Asterix: Auch noch einen schönen Abend!