$$ \sum_{i=1}^n i^3 = \left( \sum_{i=1}^n i\right)^2 $$
Induktionsbeginn:n=1
$$ 1^3 = 1^2 $$
noch ein Schritt zum Testen - nur so aus Neugier:
$$ \sum_{i=1}^2 i^3 = \left( \sum_{i=1}^2 i\right)^2 $$
$$ 1+8 = ( 1+2)^2 $$
Induktionsschluss: n=n+1
$$ \sum_{i=1}^{(n+1)} i^3 = \left( \sum_{i=1}^{(n+1)} i\right)^2 $$
$$ \sum_{i=1}^{(n)} i^3 \quad +(n+1)^3= \left( \sum_{i=1}^{(n)} i \quad +(n+1)\right)^2 $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{(n)} i^3 \right)\quad +(n^3+3n^2+3n+1)= \left( \sum_{i=1}^{(n)} i \right)^2+\quad 2(n+1)\cdot \left( \sum_{i=1}^{(n)} i \right)\quad +(n+1)^2 $$
wegen $$ \sum_{i=1}^n i^3 = \left( \sum_{i=1}^n i\right)^2 $$ können diese beiden Terme aus der Gleichung entfernt werden:
$$ +(n^3+3n^2+3n+1)= 2(n+1)\cdot \left( \sum_{i=1}^{(n)} i \right)\quad +(n+1)^2 $$
$$ n^3+3n^2+3n+1= 2(n+1)\cdot \left( \sum_{i=1}^{(n)} i \right)\quad +n^2+2n+1 $$
$$ n^3+3n^2+3n= 2(n+1)\cdot \left( \sum_{i=1}^{(n)} i \right)\quad +n^2+2n $$
$$ n^3+3n^2+n= 2(n+1)\cdot \left( \sum_{i=1}^{(n)} i \right)\quad +n^2 $$
$$ n^3+ 2n^2+n= 2(n+1)\cdot \left( \sum_{i=1}^{(n)} i \right) $$
$$ \frac{n^3+ 2n^2+n}{n+1} = 2 \cdot \left( \sum_{i=1}^{(n)} i \right) $$
$$ \frac{n(n^2+ 2n+1)}{n+1} = 2 \cdot \left( \sum_{i=1}^{(n)} i \right) $$
$$ \frac{n(n+1)^2}{n+1} = 2 \cdot \left( \sum_{i=1}^{(n)} i \right) $$
$$ n(n+1) = 2 \cdot \left( \sum_{i=1}^{(n)} i \right) $$
$$ \frac{ n(n+1)} 2 = \sum_{i=1}^{n} i $$
