Zu einem gegebenen Epsilon ein geeignetes Delta finden

Question

ich habe folgende Aufgabenstellung:

Gegeben sei die folgende Funktion \(f(x,y,z) = \frac {x + y + z}{x^2+y^2+z^2+1}\) und eine positive ganze Zahl \(\epsilon = 0,009\). Zeigen Sie bitte, dass ein \(\delta > 0\) existiert, sodass für alle \((x,y,z)\) mit \(\sqrt{x^2+y^2+z^2} < \delta\) gilt: \(|f(x,y,z) - f(0,0,0)|  < \epsilon \)

\(\delta\) = ?

Bitte eine ausführliche, Schritt-für-Schritt-Erklärung!

LG

Comments

Keine Ideen?

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Also bei einer Funktion \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\) wäre das ja ganz einfach. Man hätte dann:

\(|f(x,y,z) - f(0,0,0)| < \epsilon\)

\(|x^2 + y^2 + z^2 - 0| < 0,009\)

\(x^2 + y^2 + z^2 < 0,009\)

\(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} < \delta\)

\(\sqrt{0,009} < \delta\)

Wenn ich die Funktion irgendwie so umformen könnte, dass ich sie in diese Ungleichung einsetzen kann, wäre die Aufgabe erledigt. Dieser Schritt fehlt mir.