Untervektorraum und Kodimension zeigen

Question

Sei V = ℝ[t] und U = {f ∈ V : f(0) + 2f(1) = 3f(0) − 2f(2) = 0}. Zeige, dass U ein ℝ-Untervektorraum von V ist, bestimme codim_V(U), und gib einen ℝ-Untervektorraum W von V mit U ⊕ W = V an.

Kann mir bei dieser Aufgabe jemand den Beweis zeigen?

Comments

Hallo :)

Ich stehe leider gerade vor demselben Problem und weiß leider nicht, wie ich vorgehen kann. Könntest du mir vielleicht behilflich sein, da du exakt dieselbe Aufgabe lösen musstest?

Vielen vielen Dank!

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Betrachtet die Abbildung: $$ \varphi : V \to \mathbb R^2, f \mapsto\begin{pmatrix} f(0) + 2f(1) \\ 3f(0) - 2f(2) \end{pmatrix} $$ Zeigt.

1. \( \varphi \) ist linear.

2. \( \ker \varphi = U \) (Genau deshalb hab ich die Abbildung oben so definiert, da ist keine dunkle Magie im Spiel, betrachtet die Bedingungen wann ein Polynom in U liegt!)

3. \( \varphi \) ist surjektiv. (educated guess) D.h. man muss für jedes \( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \in \mathbb R^2 \) ein Urbild angeben. Nun ja, jetzt ist aber

$$ \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} = a e_1 + b e_2 $$

Wenn wir jetzt Polynome mit \( \varphi(g_1) = e_1 \) und \( \varphi(g_2) = e_2 \) finden gilt:$$ \varphi(a g_1 + b g_2 ) = a \varphi(g_1) + b\varphi(g_2) = a e_1 + b e_2 = \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} $$ Um die Surjektivität zu zeigen, reicht es also einfach 2 passende Polynome zu bestimmen. Bspw für \( g_1 \)

Es soll \( \varphi(g_1) = e_1 \) gelten, d.h. $$ g_1(0) + 2g_1(1) = 1,\quad 3g_1(0) - 2g_1(2) = 0 $$ Naja, das sind 2 Bedingungen, also nehmen wir als Ansatz ein Polynom vom Grad 2 - 1 = 1. Dann stellt man ein LGS auf und findet z.B. \( g_1 = \frac{1}{14} t +\frac{2}{7} \)

4. Homomorphiesatz anwenden, dann kann man die Dimension \( \dim V/U = \operatorname{codim}_V(U) \) direkt angeben.

5. Idee: \( W = \operatorname{Lin}(g_1, g_2) \)

Man muss dann noch zeigen, dass \( U \cap W = \{0\} \)

und dass sich jedes \( f \in V \) als \( f = u + w \) mit \( u \in U, w \in W \) schreiben lässt:

Ansatz: \( \lambda_1 = f(0) + 2f(1) \), \( \lambda_2 = 3f(0) - 2f(2) \), betrachte $$ f = \underbrace{(f - \lambda_1 g_1 + \lambda_2 g_2 )}_{=:u}+ \underbrace{( \lambda_1 g_1 + \lambda_2 g_2 )}_{=:w} $$

Warum ist dann \( u \in U, w \in W \)?

Answer 1

Lieber Mathematician,

zuallererst vielen herzlichen Dank für deine Hilfe, das ist ganz arg nett!!!

Ich habe nun auch schon geprüft, dass die Abbildung linear und der Kern der Abbildung =U ist. Nochmal vielen Dank für diese Schritte!

Nun komme ich aber leider wieder nicht weiter. Ich versuche seit Tagen, die Surjektivität der Abbildung zu zeigen, aber ich verstehe die Schritte leider nicht, die du mir netterweise vorgegeben hast. Zum Beispiel frage ich mich seit Tagen, weshalb aus dem Vektor (a, b) = ae1+ ae2 wird? Und bei dem LGS mit dem Polynom g1 hänge ich auch immer fest

Ich wäre dir wirklich unendlich dankbar, wenn du mir vielleicht noch einmal helfen könntest, vielen vielen Dank!!!

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Also mit \( e_1, e_2 \) meine ich die Standardbasisvektoren $$ e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix} $$ Damit gilt ja wohl: $$ \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}= a \begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix} = a e_1 + b e_2 $$

das sind 2 Bedingungen, also nehmen wir als Ansatz ein Polynom vom Grad 2 - 1 = 1.

Ansatz ist also \( g_1 = \lambda + \mu X \) mit \( \lambda, \mu \in \mathbb R \)

\( g_1(0) + 2g_1(1) = 1,\quad 3g_1(0) - 2g_1(2) = 0 \)

Wird somit zu den Gleichungen

\( \lambda + 2(\lambda + \mu) = 1,\quad 3\lambda - 2(\lambda + \mu\cdot 2) = 0 \)

Ausmultiplizieren

\( 3 \lambda + 2\mu = 1,\quad \lambda - 4\mu = 0 \)

Zweite Gleichung liefert \( \lambda = 4\mu \), das setzt man in die erste Gleichung ein und erhält \( 14\mu = 1 \), also \( \mu = \frac{1}{14} \) und \( \lambda = 4 \cdot \frac{1}{14} =\frac{2}{7} \).

Für \( g_2 \) machst du das ähnlich nur mit den Bedingungen, dass

\( g_2(0) + 2g_2(1) = 0,\quad 3g_21(0) - 2g_2(2) = 1 \)