Fläche einer Funktion f(x) = 1/2·(2·x^4 - 5·x^2 + 4) und der Tangenten im Y-Achsenabschnitt

Question

1/2 ( 2x⁴ -5x² +4 )

Im schnittpunkt A der Funktion mit der y AChse wird die Tangente errichtet. diese schneidet die Kurve im 1. Quadranten im Punkt B Berechne den Flächeninhalt zweischen der Funktion und der TAngenteim 1 .Quadranten.

kann mir jemand genau erklären wie ich die Fläche berechne und eine Skizze machen

LG 

Comments

und warum ist mein y- Achsenbschnitt bei 0 ,2 woher weiss ich das??

Answer 1

f(x) = 1/2·(2·x^4 - 5·x^2 + 4) = x^4 - 2.5·x^2 + 2

f'(x) = 4·x^3 - 5·x

F(x) = 1/5·x^5 - 5/6·x^3 + 2·x

Die Tangente ist an der Stelle 0

t(x) = f'(0)·(x - 0) + f(0) = 2

Bilden der Differenzfunktion

d(x) = f(x) - t(x) = x^4 - 2.5·x^2

D(x) = x^5/5 - 5·x^3/6

Schnittstellen

d(x) = x^2·(x^2 - 2.5) = 0
x = 0 ∨ x = √2.5 (Negative Lösung interessiert mich hier nicht)

D(√2.5) - D(0) = (- 5·√10/12) - 0 = - 5·√10/12 = -1.317615691

Die Fläche beträgt ungefähr 1.318 FE

Skizze:

 

Comments

Antwort zu der Zusatzfrage:

Warum hat die Funktion keine Nullstellen?

Berechne doch mal die Nullstellen über f(x) = 0

x^4 - 2.5·x^2 + 2 = 0

Substitution z = x^2

z^2 - 2.5·z + 2 = 0

Diskriminante

b^2 - 4ac = (-2.5)^2 - 4*1*2 = 6.25 - 8 < 0

Da die Diskriminante Null ist gibt es keine Lösungen und somit keine Nullstellen.

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diese Funktion ist symmetrisch oder? woher weiß ich das ? und woher weis ich hoch und tiefpunkt
??

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ab hier verstehe ich es leider nicht mehr warum pltzlich x² ( x²- 2,5) ??

D(x) = x5/5 - 5·x3/6

Schnittstellen

d(x) = x2·(x2 - 2.5) = 0
x = 0 ∨ x = √2.5 (Negative Lösung interessiert mich hier nicht)

D(√2.5) - D(0) = (- 5·√10/12) - 0 = - 5·√10/12 = -1.317615691

Die Fläche beträgt ungefähr 1.318 FE

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Wenn ein Polynom nur gerade Exponenten von x hat ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.

Extremstellen bekommst du wenn du die Ableitung = 0 setzt. Die Y-Koordinaten bekommt man durch einsetzen in die Funktionsgleichung. Bei Unsicherheiten was für ein Extrema vorliegt ist die hinreichende Bedingung zu verwenden.

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Schon mal gehört das man bei x⁴ - 2.5·x² = 0 ein x^2 ausklammern sollte um einfacher die Nullstellen zu bestimmen.

D(x) ist die Stammfunktion zu d(x) und wird zur Flächenberechnung benutzt.

Substitution ist ein gängiges Verfahren zur Vereinfachung von biquadratischen Gleichungen um diese zu Lösen.

Diskriminate ist in der quadratischen Lösungsformel der Teil unter der Wurzel der mir angiebt wie viele Lösungen ich habe. Ist der Teil unter der Wurzel < 0 habe ich keine Lösung.

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noch eine Frage wo sind hier die 2x??

D(x) = x5/5 - 5·x3/6 fehlen die nicht ???

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d(x) = f(x) - t(x) = x⁴ - 2.5·x²

Die 2 tauchen ja schon in d(x) nicht auf. Daher auch nicht in der Stammfunktion. Beachte das ich die Differenz der Funktionen verwende um einfacher die Schnittstellen und die Fläche auszurechnen.