Extrempunkt, Nullstellen und Aufleiten der folgenden Funktion

Question

Wie berechnet man die Extrempunkte der Funktion:

\( \frac{1}{2} x^{3}+2 x^{2}+\frac{5}{8} x-\frac{25}{8} \)

Wie berechnet man die Nullstellen? Beweise ob x₁ = 1 ist.

Wie leitet man diese Funktion auf?

Answer 1

Hi,

Extrempunkte:

f'(x)=0 und f''(x)≠0

 

f'(x)=3/2*x^2+4x+5/8=0   |*2/3 pq-Formel

-> x₁=-5/6 und x₂=-1/6

Überprüfen, indem man die Stelle in f''(x) einsetzt.

f''(x)=3x+4

f''(-5/6)<0 -> Maximum bei H(-5/2|0)

f''(-1/6)>0 -> Minimum bei T(-1/6|3,18)

wobei der y-Wert bestimmt wird, in dem man in f(x) einsetzt.

 

Nullstellen:

Wir vermuten eine Nullstelle bei x=1. D.h. wir versuchen eine Polynomdivision. Klappt diese ohne Rest, ist x=1 eine Nullstelle. Vorher aber eine Multiplikation mit 8, damit man keine Brüche hat. Beachte, dass Vorfaktoren keinen Einfluss auf Nullstellen haben, denn a*x=0 für beliebiges a, aber x=0.

(4x^3+16x^2+5x-25):(x-1)=4x^2+20x+25

Es verbleibt also kein Rest.

Für 4x^2+20x+25=0 einfach pq-Formel anwenden (vorher durch 4 teilen) oder Binomi erkennen:

4x^2+20x+25=(2x+5)^2

x_2,3=-5/2

Die Nullstelle x=1 konnte also verifiziert werden. Außerdem gibt es noch eine (doppelte) Nullstelle bei x=-5/2.

 

Integrieren:

Das geht summandenweise:

F(x)=1/8*x^4+2/3*x^3+5/16*x^2-25/8*x+c

 

Grüße