Folge und ihre Konvergenz

Question

Bleibt der Index k bei 1 oder läuft er gegen n also gegen unendlich?

Nach meinen Berechnungen sind die ersten Werte:

c1= 1

c2= 1+ 2/4 =3/2

c3= 3/2 + 3/9 = 33/18

Liege ich hier richtig? wenn ja müsste die Folge doch gegen undendlich laufen? Ich wüsste nicht wie der Grenzwert sonst bestimmt werden kann

Comments

Klammere 1/n^2 aus und berechne zunächst die - noch endliche - Summe.

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wenn ich 1/n^2 ausklammere läuft ja die Summe gegen unendlich. Da ich aber 1/n^2 vor der Summe zu stehen habe, was gegen Null läuft, da n immer größer wird, läuft die ganze folge gegen 0, da ja 0 als Faktor davor steht. Stimmt das so?

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Zunächst ist n konstant und du kannst die Summe ausrechnen. Hast du das gemacht, kannst du immer noch schauen, was die Folge \(c_n\) im Unendlichen macht.

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wenn du 1/n² ausklammerst hast du

1/n²  * Summe k=1 bis n über k


= 1/n²   * ( n * (n+1) )/2


= ( n² + n ) / ( 2n² )

hat für  n gegen unendlich den Grenzwert 1/2 .

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Wieso gegen 1/2? ich kriege raus 1/2n..

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( n² + n ) / ( 2n² )

= ( 1 + 1/n) / 2

Answer 1

Hallo leon,

\(\sum\limits_{k=1}^{n} k/n^2\)  =  1/n²  * \(\sum\limits_{k=1}^{n} k\)  = 1/n² * n/2 *(n+1)

                          =  1/2 * 1/n  * (n+1) =  1/2 * (1 + 1/n)

lim_n→∞   \(\sum\limits_{k=1}^{n} k/n^2\)  =  lim_n→∞  1/2 * (1 + 1/n)   =  1/2  

Gruß Wolfgang 

Answer 2

c1= 1

c2= 1/4 + 2/4 =3/4

c3= 1/9 + 2/9  + 3/9 = 6/9 = 2/3

etc.