Geometrie: Winkel im Kreis - Aus einem Satz zeigen, dass der nächste Satz gilt.

Question

Im spitzwinkligen Dreieck \( A B C \) sei \( O \) der Umkreismittelpunkt und \( H \) der Höhenschnittpunkt. Dann hat der Winkel \( \triangleleft H C O \) die Größe \( |\alpha-\beta| \)

Sind \( A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime} \) die Höhenfußpunkte im Dreieck \( A B C \), so ist der Höhenschnittpunkt von \( A B C \) der Inkreismittelpunkt von \( A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \).

(Staatsexamen, Herbst 2010)

Ich denke mal aus dem einen Satz sollen wir zeigen, dass der nächste Satz gilt.

Hat jemand vielleicht Tipps, Ideen, Lösungsvorschläge wie ich an dieser Aufgabe ran gehen soll?

Answer 1

Irgendwie muss man versuchen über bekannte Sätze
Informationen zu erlangen.

Hier etwa so:

O ist der Umkreismittelpunkt, also ist ∠ BOC ein Mittelpunktswinkel

im Umkreis des Dreiecks über der Sehne BC, also doppelt so groß wie α.

Außerdem ist das Dreieck OBC gleichschenklig. Der  gesuchte Winkel ε=∠ HCO

ist je nach Wahl der Seitenlängen ein Teilwinkel von HCA oder BCH.

Ich nehme mal den ersten Fall.   #

Dann ist ∠ BCH (wegen der 90° beim Höhenfußpunkt) ein

Winkel mit der Größe 90°-ß.

Also sind die Basiswinkel im Dreieck OBC jeweils   ε+90°-ß .

Dann gilt in diesem Dreieck

2α + 2*( ε+90°-ß )  = 180°

woraus sich   ε = ß - ∝  ergibt.

Hat man bei # den 2. Fall, dann ergibt sich  ε = ∝  - ß

Allgemein also    ε = | ∝  - ß |  q.e.d.