Wir haben die folgende Ableitungen:
$$f(x)=\frac{e^{a}}{x}$$ $$ f'(x)=\frac{ae^{ax}x-e^{ax}}{x^2} =e^{ax}\cdot \frac{ax-1}{x^2}$$ $$ f''(x)= \left(e^{ax}\right)'\cdot \frac{ax-1}{x^2} +e^{ax}\cdot \left(\frac{ax-1}{x^2} \right)'=ae^{ax}\cdot \frac{ax-1}{x^2} +e^{ax}\cdot\frac{ax^2-2x(ax-1)}{x^4} \\ =ae^{ax}\cdot \frac{ax-1}{x^2} +e^{ax}\cdot\frac{ax^2-2ax^2+2x}{x^4}=ae^{ax}\cdot \frac{ax-1}{x^2} +e^{ax}\cdot\frac{-ax^2+2x}{x^4} \\ =ae^{ax}\cdot \frac{ax-1}{x^2} +e^{ax}\cdot\frac{-ax+2}{x^3}=e^{ax}\cdot \left(\frac{a^2x-a}{x^2} +\frac{-ax+2}{x^3} \right) \\ = e^{ax}\cdot \left(\frac{a^2x^2-ax}{x^3} +\frac{-ax+2}{x^3} \right)=e^{ax}\cdot \frac{a^2x^2-2ax+2}{x^3} $$
Die Nullstelle der ersten Ableitung ist x = 1/a.
Wenn wir das x = 1/a in der zweiten Ableitung einsetzen bekommen wir: $$f''\left(\frac{1}{a}\right)=e^{a\cdot \frac{1}{a}}\cdot \frac{a^2 \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^2-2a\cdot \frac{1}{a}+2}{\left(\frac{1}{a}\right)^3}=e\cdot \frac{1-2+2}{\frac{1}{a^3}}=e\cdot a^3$$ Wenn a>0 ist, dann hat die Funktion an der Stelle x = 1/a einen Tiefpunkt und wenn a<0 ist, dann hat die Funktion an der Stelle x = 1/a einen Hochpunkt.
